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考点规范练47抛物线一、基础巩固1.(2018吉林省吉林市调研)以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)答案B解析由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).选B.2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案B解析抛物线方程可化为x2=-y4,其准线方程为y=116.设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知116-y0=1,y0=-1516.3.(2018北京朝阳一模)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()A.2B.4C.8D.16答案B解析如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4,即M到直线x+1=0的距离为4.故选B.4.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为()A.x2=32yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3y答案D解析设点M(x1,y1),N(x2,y2).由x2=ay,y=2x-2消去y,得x2-2ax+2a=0,所以x1+x22=2a2=3,即a=3,因此所求的抛物线方程是x2=3y.5.(2018山东菏泽期末)已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线:y2=2px(p0)上,且AOB的面积为93,则p=()A.3B.3C.32D.332答案C解析根据抛物线和等边三角形的对称性可知A,B两点关于x轴对称,不妨设直线OB:y=33x,与y2=2px联立得B(6p,23p),因为AOB的面积为93,所以34(43p)2=93,解得p=32.故选C.6.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()A.19B.14C.13D.12答案A解析因为抛物线的准线为x=-p2,所以1+p2=5,解得p=8,所以m=4.又双曲线的左顶点坐标为(-a,0),所以41+a=1a,解得a=19,故选A.7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9解析设点M坐标为(xM,yM).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9.8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.答案2解析由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+OB,求的值.解(1)由题意得直线AB的方程为y=22x-p2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,从而A(1,-22),B(4,42).设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,所以22(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有FAFB0),化简得y2=4x(x0).(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).设l的方程为x=ty+m.由x=ty+m,y2=4x,得y2-4ty-4m=0,=16(t2+m)0,于是y1+y2=4t,y1y2=-4m.因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),所以FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又FAFB0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+10,因为x=y24,所以不等式可变形为y124y224+y1y2-y124+y224+10,即(y1y2)216+y1y2-14(y1+y2)2-2y1y2+10.将代入整理得m2-6m+14t2.因为对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式对于一切t成立等价于m2-6m+10,即3-22m3+22.由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有FAFB0)的焦点为F,A(x1,2),B(x2,8)是C上两点,且x2x10,若|BF|=3|AF|,则x1+x2=()A.32B.6C.62D.8答案C解析3|FA|=|FB|,根据抛物线的定义,可得32+p2=8+p2,解得p=2,抛物线方程为x2=4y,将y1=2,y2=8代入方程,得x1=22,x2=42,x1+x2=62.故选C.13.已知双曲线y24-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积为1,则p的值为()A.1B.2C.22D.4答案B解析双曲线y24-x2=1的两条渐近线方程是y=2x.又抛物线y2=2px(p0)的准线方程是x=-p2,故A,B两点的纵坐标是y=p.AOB的面积为1,12p22p=1.p0,p=2.14.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=54|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.解(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=8p.所以|PQ|=8p,|QF|=p2+x0=p2+8p.由题设得p2+8p=548p,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-1my+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-4m,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E2m2+2m2+3,-2m,|MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2.由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|,从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m2+1)2+2m+2m2+2m2+22=4(m2+1)2(2m2+1)m4,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.15.已知抛物线x2=2py(p0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1x2.(1)若直线AB的斜率为12,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.(2)若AP=PB,是否存在异于点P的点Q,使得对任意,都有QP(QA-QB)?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.解(1)由已知得p=2,直线和y轴交于点(0,2),则直线AB的方程为y-2=12x,即x-2y+4=0.由x-2y+4=0,x2=4y,得A,B的坐标分别为(4,4),(-2,1).又x2=4y,可得y=14x2,故y=12x,故抛物线在点A处切线的斜率为2.设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则b-4a-4=-12,(a+2)2+(b-1)2=(a-4)2+(b-4)2,解得a=-1,b=132,r2=1254,故圆的方程为(x+1)2+y-1322=1254,即为x2+y2+2x-13x+12=0.(2)依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-8=0,故x1x2=-8.由已知AP=PB得-x1=x2.若k=0,这时=1,要使QP(QA-QB),点Q必在y轴上.设点Q的坐标是(0,m),从而QP=(0,2-m),QA-QB=(x1,y1-m)-(x2,y2-m)=(x1-x2,y1-m-(y2-m),故QP(QA-QB)=(2-m)y1-y2-m(1-)=0,即y1-y2-m(1-)=0,即x124+x1x2x224-m1+x1x2=0,即14x2(x1+x2)(x1x2-4m)=0,将代入得m=-2.所以存在点Q(0,-2)使得QP(QA-QB).三、高考预测16.已知点F是抛物线y2=2px(p0)(O为坐标原点)的焦点,倾斜角为3的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A,当|AF|=2时,抛物线方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案B解析过点A作ABx轴于点B,则RtABF中,AFB=60,|AF|=2,所以|BF|=|AF|cosAFB=12|AF|=1,|AB|=|AF|sinAFB=3.设点A的坐标为(x0,3)x0p2,由x0+p2=2,3=2px0,解得p=1.所以抛物线的方程为y2=2x.故选B.
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