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直线的方程一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 若直线l1：(m-2)x-y-1=0，与直线l2：3x-my=0互相平行，则m的值等于( )A. 0或-1或3 B. 0或3 C. 0或-1 D. -1或3（正确答案）D解：m=0时，两条直线方程分别化为：-2x-y-1=0，x=0，此时两条直线不平行，舍去m0，由于l1/l2，则m-23=-1-m，解得m=-1或3，经过验证满足条件综上可得：m=-1或3故选：D对m分类讨论，利用两条直线相互平行的条件即可得出本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题2. 已知直线l1：x+my+7=0和l2：(m-2)x+3y+2m=0互相平行，则实数m=( )A. m=-1或3 B. m=-1C. m=-3 D. m=1或m=-3（正确答案）A解：由m(m-2)-3=0，解得m=3或-1经过验证都满足两条直线平行，m=3或-1故选：A由m(m-2)-3=0，解得m.经过验证即可得出本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3. 已知直线ax+3y-1=0与直线3x-y+2=0互相垂直，则a=( )A. -3 B. -1 C. 1 D. 3（正确答案）C解：直线ax+3y-1=0与直线3x-y+2=0互相垂直，a3+3(-1)=0，解得a=1 故选：C由直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得a值本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题4. 在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax+y-1=0与过定点Q的直线m：x-ay+3=0相交于点M，则|MP|2+|MQ|2的值为( )A. 102 B. 10 C. 5 D. 10（正确答案）D【分析】由已知得P(0,1)，Q(-3,0)，过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直，M位于以PQ为直径的圆上，由此能求出|MP|2+|MQ|2的值【解答】解：在平面内，过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0相交于点M，P(0,1)，Q(-3,0)，过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直，M位于以PQ为直径的圆上，|PQ|=9+1=10，|MP|2+|MQ|2=10，故选D5. 如果直线l1：2x-y-1=0与直线l2：2x+(a+1)y+2=0平行，那么a等于( )A. -2 B. -1 C. 1 D. 2（正确答案）A解：直线l1：2x-y-1=0与直线l2：2x+(a+1)y+2=0平行，a+1=-1，解得a=-2故选：A直接由两直线平行的条件列式求解a的值本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是熟记由直线的一般式方程得到直线平行的条件，是基础题6. 已知直线l1：(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2：2(k-3)x-2y+3=0平行，则k的值是( )A. 1或3 B. 1或5 C. 3或5 D. 1或2（正确答案）C解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为 y=-1 和y=32，显然两直线平行当k-30时，由 k-32(k-3)=4-k-213，可得k=5.综上，k的值是3或5，故选C当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-30时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想7. 直线x+2ay-1=0与(a-1)x-ay+1=0平行，则a的值为( )A. 12 B. 12或0 C. 0 D. -2或0（正确答案）A解：当a=0时，两直线重合；当a0时，由a-11=-a2a1-1，解得a=12，综合可得，a=12，故选：A当a=0时，检验两直线是否平行，当a0时，由一次项系数之比相等但不等于常数项之比，求出a的值本题考查两直线平行的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题8. 过点(1,2)且与直线y=2x+1垂直的直线的方程为( )A. x+2y-3=0 B. 2x-y+4=0 C. x+2y+3=0 D. x+2y-5=0（正确答案）D解：与直线y=2x+1垂直的直线方程的斜率k=-12，直线过点(1,2)，所求直线的方程为y-2=-12(x-1)，整理，得x+2y-5=0故选：D与直线y=2x垂直的直线方程的斜率k=-12，直线过点(1,2)，由此能求出直线方程本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线间位置关系的合理运用9. 过点P(-2,2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有( )A. 3条 B. 2条 C. 1条 D. 0条（正确答案）C解：假设存在过点P(-2,2)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l的方程为：xa+yb=1，则-2a+2b=1即2a-2b=ab 直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=-12ab=8，即ab=-16，联立2a-2b=abab=-16，解得：a=-4，b=4直线l的方程为：x-4+y4=1，即x-y+4=0，即这样的直线有且只有一条，故选：C 设直线l的方程为：xa+yb=1，结合直线过点P(-2,2)且在第二象限内围成的三角形面积为8，构造方程组，解得直线方程，可得答案本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题10. 直线x+(l-m)y+3=0(m为实数)恒过定点( )A. (3,0) B. (0,-3) C. (-3,0) D. (-3,1)（正确答案）C解：令x+3=0(1-m)y=0，解得：x=-3y=0，故直线恒过定点(-3,0)，故选：C令x+3=0(1-m)y=0，可得直线恒过定点的坐标本题考查了直线系的应用，属于基础题11. 过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A. 2x+y-3=0 B. 2x-y-3=0 C. 4x-y-3=0 D. 4x+y-3=0（正确答案）A解：因为过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为(1,1)，显然B、D选项不过(1,1)，B、D不满足题意；另一个切点的坐标在(1,-1)的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足故选A由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习12. 已知三条直线2x-3y+1=0，4x+3y+5=0，mx-y-1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )A. -43,23 B. 43,-23 C. -43,23,43 D. -43,-23,23（正确答案）C解：三条直线不能围成一个三角形，(1)l1/l3，此时m=23；l2/l3，此时m=-43；(2)三点共线时也不能围成一个三角形2x-3y+1=0与4x+3y+5=0交点是(-1,-13) 代入mx-y-1=0，则m=43故选：C三条直线若两两相交围成一个三角形，则斜率必不相同；否则，只要有两条直线平行，或三点共线时不能构成三角形本题考查两直线平行的条件，当斜率相等且截距不相等时两直线平行.属于基础题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 若k，-1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点_ （正确答案）(1,-2)解：若k，-1，b三个数成等差数列，则有k+b=-2，即-2=k1+b，故直线y=kx+b必经过定点(1,-2)，故答案为(1,-2)由条件可得 k+b=-2，即-2=k1+b，故直线y=kx+b必经过定点(1,-2)本题主要考查等差数列的定义和性质，直线过定点问题，属于基础题14. 若直线(m-1)x-y+2=0与直线3x+my+3=0垂直，则实数m的值等于_（正确答案）32解：直线(m-1)x-y+2=0的斜率为k1=m-1，直线3x+my+3=0的斜率为k2=-3m 直线(m-1)x-y+2=0与直线3x+my+3=0垂直， (m-1)(-3m)，解得m=32， 故答案为32根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，解方程求得m的值本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题15. 已知直线l1：2x-2y+1=0，直线l2：x+by-3=0，若l1l2，则b= _ ；若l1/l2，则两直线间的距离为_ （正确答案）1；724解：l1l2，则-2-2(-1b)=-1，解得b=1若l1/l2，则-2-2=-1b，解得b=-1.两条直线方程分别为：x-y+12=0，x-y-3=0则两直线间的距离=|-3-12|2=724故答案为：1，724由l1l2，则-2-2(-1b)=-1，解得b若l1/l2，则-2-2=-1b，解得b.利用平行线之间的距离公式即可得出本题考查了平行与相互垂直的充要条件和平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16. 如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7平行，则a=_（正确答案）3解：直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7平行，a3=2a-1-3aa-7，解得a=3故答案为：3利用直线与直线平行的性质直接求解本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. ABC的三个顶点为A(-3,0)，B(2,1)，C(-2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边上的垂直平分线DE的方程（正确答案）解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点，由两点式得BC的方程为y-1=3-1-2-2(x-2)，即x+2y-4=0(2)设BC中点D的坐标为(x,y)，则x=2-22=0，y=1+32=2BC边的中线AD过点A(-3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为x-3+y2=1，即2x-3y+6=0(3)BC的斜率k1=-12，则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2，由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2(1)利用B和C的坐标直接求出直线方程即可；(2)根据中点坐标公式求出B与C的中点D的坐标，利用A和D的坐标写出中线方程即可；(3)求出直线BC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出BC垂直平分线的斜率，由(2)中D的坐标，写出直线DE的方程即可18. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0点T(-1,1)在AD边所在直线上()求AD边所在直线的方程；()求矩形ABCD外接圆的方程；()若动圆P过点N(-2,0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程（正确答案）解：(I)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3又因为点T(-1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)3x+y+2=0(II)由3x+y+2=0x-3y-6=0解得点A的坐标为(0,-2)，因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)所以M为矩形ABCD外接圆的圆心又|AM|=(2-0)2+(0+2)2=22从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8(III)因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以|PM|=|PN|+22，即|PM|-|PN|=22故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支因为实半轴长a=2，半焦距c=2所以虚半轴长b=c2-a2=2从而动圆P的圆心的轨迹方程为x22-y22=1(x-2)(I)先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；(II)先求得其圆心和半径，再由圆的标准方程求解；(III)由圆心距等于两半径之和，抽象出双曲线的定义从而求得轨迹方程本题主要考查直线方程的求法，平面图形外接圆的求法和轨迹方程的求法19. 已知直线l过点(1,2)且在x，y轴上的截距相等(1)求直线l的一般方程；(2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点p(a,b)在直线l上，求3a+3b的最小值（正确答案）解：(1)当直线过原点时，直线的方程为y=2x，当直线不过原点时，设直线的方程为xa+ya=1，代入点P(1,2)，解得：a=3，则直线的方程为x+y-3=0，综上，直线的方程为y=2x，或x+y-3=0；(2)由题意得l：x+y-3=0，a+b=3，3a+3b23a3b=23a+b=63，3a+3b的最小值为63，当a=b=32时，等号成立(1)通过讨论直线过原点和直线不过原点时的情况，求出直线方程即可；(2)求出a+b=3，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可本题考查了求直线方程以及基本不等式的性质的应用，考查转化思想，是一道中档题
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