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第十五章不等式选讲考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度不等式的解法及证明1.理解绝对值的几何意义并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|a|+|b|(a,bR),|a-b|a-c|+|c-b|(a,b,cR)2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法等2017课标全国,23;2017课标全国,23;2017课标全国,23;2016课标全国,24;2016课标全国,24;2016课标全国,24;2015课标,24;2015课标,24填空题、解答题分析解读不等式选讲是高考的选考内容之一,主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法.本节内容在高考中分值为10分,属中档题.五年高考考点不等式的解法及证明1.(2017课标全国,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,所以(a+b)38,因此a+b2.2.(2017课标全国,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解析(1)f(x)=-3,x2.当x2时,由f(x)1得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-|x|-322+5454,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x2+x=54.故m的取值范围为-,54.3.(2016课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时, f(x)+g(x)3,求a的取值范围.解析(1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.(5分)(2)当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当xR时, f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.(7分)当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).(10分)4.(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.解析(1)f(x)=-2x,x-12,1,-12x12,2x,x12.(2分)当x-12时,由f(x)2得-2x-1;(3分)当-12x12时, f(x)2;(4分)当x12时,由f(x)2得2x2,解得x1,(5分)所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(6分)(2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0,因此|a+b|0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解析(1)证明:当a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当x-1时,不等式化为x-40,无解;当-1x0,解得23x0,解得1x1的解集为x23x2.(5分)(2)由题设可得, f(x)=x-1-2a,xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,+).(10分)6.(2015课标,24,10分)选修45:不等式选讲设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若abcd,则a+bc+d;(2)a+bc+d是|a-b|cd得(a+b)2(c+d)2.因此a+bc+d.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得a+bc+d.(ii)若a+bc+d,则(a+b)2(c+d)2,即a+b+2abc+d+2cd.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|c+d是|a-b|0,b0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析(1)由ab=1a+1b2ab,得ab2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b32a3b342,且当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)知,2a+3b26ab43.由于436,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.教师用书专用(815)8.(2014陕西,15A,5分)(不等式选做题)设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则m2+n2的最小值为.答案59.(2014江西,15,5分)x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,则x+y的取值范围为.答案0,210.(2013陕西,15A,5分)(不等式选做题)设a,bR,|a-b|2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|2的解集是.答案(-,+)11.(2015陕西,24,10分)选修45:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解析(1)由|x+a|b,得-b-axb-a,则-b-a=2,b-a=4,解得a=-3,b=1.(2)-3t+12+ t=34-t+ t(3)2+12(4-t)2+(t)2=24-t+t=4,当且仅当4-t3=t1,即t=1时等号成立,故(-3t+12+ t)max=4.12.(2014辽宁,24,10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N.(1)求M;(2)当xMN时,证明:x2f(x)+xf(x)214.解析(1)f(x)=3x-3,x1,+),1-x,x(-,1).当x1时,由f(x)=3x-31得x43,故1x43;当x1时,由f(x)=1-x1得x0,故0x0).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)0,有f(x)=x+1a+|x-a|x+1a-(x-a) =1a+a2,所以f(x)2.(2)f(3)=3+1a+|3-a|.当a3时, f(3)=a+1a,由f(3)5得3a5+212.当0a3时, f(3)=6-a+1a,由f(3)5得1+52a3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.14.(2013课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x-a2,12时, f(x)g(x),求a的取值范围.解析(1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-5x,x1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0x2.(2)当x-a2,12时, f(x)=1+a.不等式f(x)g(x)化为1+ax+3.所以xa-2对x-a2,12都成立.故-a2a-2,即a43.从而a的取值范围是-1,43.15.(2013课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ca13;(2)a2b+b2c+c2a1.证明(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca13.(2)因为a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)2(a+b+c),即a2b+b2c+c2aa+b+c.所以a2b+b2c+c2a1.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点不等式的解法及证明1.(2018福建四地六校12月联考,23)已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,aR.(1)当a=3时,解不等式f(x)4;(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围.解析(1)当a=3时,f(x)=|2x-1|+|x-3|=4-3x,x12,x+2,12x3,3x-4,x3,所以当x12时,由4-3x4,得x0,所以0x12;当12x3时,由x+24,得x2,所以12x2;当x3时,由3x-44,得x83,舍去.综上所述,不等式f(x)4的解集为0,2.(2)f(x)=|2x-1|+|x-a|=|2x-1|+|a-x|(2x-1)+(a-x)|=|x-1+a|,所以若f(x)=|x-1+a|,则2x-1与a-x同号,即(2x-1)(a-x)0,即(2x-1)(x-a)0,当a12时,x的取值范围是12,a.2.(2018湖北荆州中学月考,23)已知函数f(x)=|x-3|.(1)求不等式f(x)+f(2x)4,证明:f(x1)+f(x2)12.解析(1)由f(x)+f(2x)f(12)得|x-3|+|2x-3|9,x32,3-x+3-2x9或32x3,3-x+2x-39或x3,x-3+2x-39,解得-1x5,故不等式f(x)+f(2x)4,f(x1)+f(x2)12.3.(2017河南考前预测,23)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|.(1)求不等式f(x)+|x+1|0,n0),求4m+1n的最小值.解析(1)f(x)+|x+1|=-3x,x-1,-x+2,-1x12,3x,x12,当x-1时,由-3x-23,所以x;当-1x12时,由-x+20,所以0x12;当x12时,由3x2,得x23,所以12x0,n0,所以4m+1n=12(m+n)4m+1n=125+4nm+mn125+24nmmn=92,当且仅当4nm=mn,即m=43,n=23时等号成立.所以4m+1n的最小值为92.4.(2017广东百校联考,23)已知f(x)=|x+2|-|2x-1|,M为不等式f(x)0的解集.(1)求M;(2)求证:当x,yM时,|x+y+xy|15.解析(1)f(x)=x-3,x12.当x0,得x3,所以x;当-2x12时,由3x+10,得x-13,故-1312时,由-x+30,得x3,故12x3.综上,M=-13,3.(2)证明:x,yM,|x|3,|y|3,|x+y+xy|x+y|+|xy|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x|y|3+3+33=15.5.(2016河南顶级名校期中,24)已知函数f(x)=|x-a|,不等式f(x)3的解集为-1,5.(1)求实数a的值;(2)若f(x)+f(x+5)m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)|x-a|3,a-3xa+3.f(x)3的解集为-1,5,a-3=-1,a+3=5,a=2.(2)f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|(x-2)-(x+3)|=5,f(x)+f(x+5)m恒成立,m5.B组20162018年模拟提升题组(满分:60分时间:50分钟)解答题(每小题10分,共60分)1.(2018河北五校联考,23)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.(1)求不等式f(x)6的解集;(2)若关于x的不等式f(x)32,(2x+1)+(2x-3)6或-12x32,(2x+1)-(2x-3)6或x-12,-(2x+1)-(2x-3)6,解得32x2或-12x32或-1x4,解此不等式得a5.2.(2018广东珠海二中期中,23)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(mR).(1)当m=-1时,求不等式f(x)2的解集;(2)设关于x的不等式f(x)|2x+1|的解集为A,且34,2A,求实数m的取值范围.解析(1)当m=-1时,f(x)=|x-1|+|2x-1|,f(x)2即|x-1|+|2x-1|2,上述不等式可化为x12,1-x+1-2x2或12x1,1-x+2x-12或x1,x-1+2x-12,解得0x12或12x0,b0,且a+b=1.(1)若abm恒成立,求m的取值范围;(2)若4a+1b|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.解析(1)a0,b0,a+b=1,由基本不等式得aba+b22=14,当且仅当a=b=12时等号成立.abm恒成立,m14.(2)a,b(0,+),且a+b=1,4a+1b=4a+1b(a+b)=5+4ba+ab9,当且仅当a=2b=23时,等号成立.故要使4a+1b|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|9,当x-2时,不等式可化为1-2x+x+29,得-6x-2;当-2x12时,不等式可化为1-2x-x-29,得-2x12;当x12时,不等式可化为2x-1-x-29,得12x12.故x的取值范围为-6,12.4.(2017安徽师大附中等名校12月联考,23)设函数f(x)=|x-1|-2|x+1|的最大值为m.(1)求m;(2)若a,b,c(0,+),a2+2b2+c2=m,求ab+bc的最大值.解析(1)当x-1时,f(x)=3+x,则f(x)2;当-1x1时,f(x)=-1-3x,则-4f(x)2;当x1时,f(x)=-x-3,则f(x)-4.故当x=-1时,f(x)取得最大值2,故m=2.(2)因为2=a2+2b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)2ab+2bc=2(ab+bc),当且仅当a=b=c=22时取等号,所以ab+bc的最大值为1.5.(2017广东广州一模,23)已知f(x)=|ax-1|,不等式f(x)3的解集是x|-1x2.(1)求a的值;(2)若f(x)+f(-x)30时,-2ax4a.因为不等式f(x)3的解集是x|-1x2,所以-2a=-1,4a=2,解得a=2.当a0时,4ax-2a.因为不等式f(x)3的解集是x|-1x2,所以-2a=2,4a=-1,无解.所以a=2.(2)因为f(x)+f(-x)3=|2x-1|+|2x+1|3|(2x-1)-(2x+1)|3=23,所以要使 f(x)+f(-x)323.解得k23或k-23.所以实数k的取值范围是-,-2323,+.6.(2016福建“四地六校”第三次联考,23)设函数f(x)=12x+1+|x-1|(xR)的最小值为a.(1)求a;(2)已知两个正数m,n满足m2+n2=a,求1m+1n的最小值.解析(1)函数f(x)=12x+1+|x-1|=-32x,x-2,-12x+2,-2x0,n0,1mn43,故有1m+1n21mn433,当且仅当m=n=32时取等号.所以1m+1n的最小值为433.C组20162018年模拟方法题组方法1含有两个绝对值的不等式的解法1.(2018河南开封定位考试,23)已知函数f(x)=|x-m|,m0.(1)当m=-1时,解不等式f(x)+f(-x)2-x;(2)若不等式f(x)+f(2x)1的解集非空,求m的取值范围.解析(1)当m=-1时,f(x)=|x+1|,设F(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|+|x+1|=-2x(x-1),2(-1x1),2x(x1),F(x)2-x,即x-1,-2x2-x或-1x1,22-x或x1,2x2-x,解得x-2或x0,故原不等式的解集为x|x-2或x0.(2)f(x)+f(2x)=|x-m|+|2x-m|,m0,当xm时,f(x)=m-x+m-2x=2m-3x,则f(x)-m;当mxm2时,f(x)=x-m+m-2x=-x,则-m2f(x)-m;当xm2时,f(x)=x-m+2x-m=3x-2m,则f(x)-m2.故f(x)的值域为-m2,+,不等式f(x)+f(2x)-m2,解得m-2,由于m1的解集;(2)若不等式f(x)0在x2,3时恒成立,求a的取值范围.解析(1)a=1,f(x)1|x-1|-2|x+1|1x-1,-x+1+2(x+1)1或-11或x1,x-1-2(x+1)1,解得-2x-1或-1x0在x2,3时恒成立|x-1|-2|x+a|0在x2,3时恒成立|2x+2a|x-1在x2,3时恒成立1-x2x+2ax-1在x2,3时恒成立1-3x2a-x-1在x2,3时恒成立(1-3x)max2a(-x-1)min,x2,3-52a-4-52a-2.故a的取值范围为-52,-2.方法2证明不等式的方法3.(2018吉林长春质检,23)设不等式|x+1|-|x-1|1.解析(1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|=2,x1,2x,-1x1,-2,x-1,由|f(x)|2得-1x1,故A=x|-1x1,只需证|1-abc|ab-c|,只需证1+a2b2c2a2b2+c2,只需证1-a2b2c2(1-a2b2),只需证(1-a2b2)(1-c2)0,由a,b,cA,得-1ab1,c20恒成立.综上,1-abcab-c1.4.(2017四川广安等四市一模,23)已知函数f(x)=|x+b2|-|-x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|,其中a,b,c均为正实数,且ab+bc+ac=1.(1)当b=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)当xR时,求证f(x)g(x).解析 (1)当b=1时,f(x)=-2,x-1,2x,-1x1,2,x1.当x-1时,f(x)=-21,不等式f(x)1无解;当-1x1时,由f(x)=2x1,解得x12,所以12x1;当x1时,f(x)=21恒成立.所以f(x)1的解集为12,+.(2)证明:当xR时,f(x)=|x+b2|-|-x+1|x+b2+(-x+1)|=|b2+1|=b2+1.g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|x+a2+c2-(x-2b2)|=a2+c2+2b2.a2+c2+2b2-(b2+1)=a2+c2+b2-1=12(a2+b2+b2+c2+c2+a2)-112(2ab+2bc+2ac)-1=ab+bc+ac-1=0,当且仅当a=b=c=33时,等号成立.所以a2+c2+2b2b2+1,因此,当xR时,f(x)b2+1a2+c2+2b2g(x),因此,当xR时,f(x)g(x).
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