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第5讲数学归纳法考纲解读1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题(重点)2.数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看，对本讲并没有直接涉及，当遇到与正整数n有关的不等式的证明，且其他方法不易证时，可以考虑用数学归纳法进行证明求解.数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：1(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；2(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法1概念辨析(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()(4)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)下列结论能用数学归纳法证明的是()Axsinx，x(0，)Bexx1(xR)C12n1(nN*)Dsin()sincoscossin(，R)答案C解析数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知C符合题意(2)用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN*)，在验证n1时，等式左边的项是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案C解析验证n1时，等式左边的项是1aa2.(3)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真答案2k1解析由于步长为2，所以2k1后一个奇数应为2k1.题型 用数学归纳法证明恒等式设i为虚数单位，n为正整数，0,2)用数学归纳法证明：(cosisin)ncosnisinn.证明当n1时，左边右边cosisin，所以命题成立；假设当nk时，命题成立，即(cosisin)kcoskisink，则当nk1时，(cosisin)k1(cosisin)k(cosisin)(coskisink)(cosisin)(coskcossinksin)i(sinkcoscosksin)cos(k1)isin(k1)，所以当nk1时，命题成立综上，由和可得，(cosisin)ncosnisinn.数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2)注意点：由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程提醒：归纳假设就是证明nk1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法.用数学归纳法证明：(nN*)证明当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立假设nk(k1，kN*)时，等式成立即，当nk1时，左边，右边，左边右边，等式成立由知，对nN*，原等式成立题型 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立证明当n2时，左边1，右边.左边右边，不等式成立假设当nk(k2，且kN*)时不等式成立即.则当nk1时，.当nk1时，不等式也成立由知对于一切大于1的自然数n，不等式成立应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.求证：当n1(nN*)时，(12n)n2.证明(1)当n1时，左边右边，命题成立当n2时，左边(12)22，命题成立(2)假设当nk(k2)时命题成立，即(12k)k2.则当nk1时，有左边(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).当k2时，11，左边k21(k1)k22k1(k1)2.这就是说当nk1时，命题成立由(1)(2)可知当n1(nN*)时原命题成立题型 归纳猜想证明如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)(0y1y20，所以a12，同理可得a26，a312.(2)依题意，得xn，yn，由此及y3xn得2(an1an)，即(anan1)22(an1an)由(1)可猜想：ann(n1)(nN*)下面用数学归纳法予以证明：当n1时，命题显然成立；假设当nk时命题成立，即有ank(k1)，则当nk1时，由归纳假设及(ak1ak)22(akak1)得ak1k(k1)22k(k1)ak1，即a2(k2k1)ak1k(k1)(k1)(k2)0，解得ak1(k1)(k2)或ak1k(k1)0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性解(1)当n1时，由已知得a11，a2a120.所以a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.所以a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)证明：由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由ak1Sk1Sk，将ak代入上式并整理，得a2ak120，解得ak1(负值舍去)即当nk1时，通项公式也成立由和，可知对所有nN*，an都成立
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