2020版高考数学一轮复习 第11章 算法复数推理与证明 第5讲 数学归纳法讲义 理(含解析).doc

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第5讲数学归纳法考纲解读1.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的命题(重点)2.数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看,对本讲并没有直接涉及,当遇到与正整数n有关的不等式的证明,且其他方法不易证时,可以考虑用数学归纳法进行证明求解.数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:1(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立;2(归纳递推)假设nk(kn0,kN*)时命题成立,证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,上述证明方法叫做数学归纳法1概念辨析(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n1时结论成立()(2)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由nk到nk1时,项数都增加了一项()(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用()(4)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”,验证n1时,左边式子应为122223.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)下列结论能用数学归纳法证明的是()Axsinx,x(0,)Bexx1(xR)C12n1(nN*)Dsin()sincoscossin(,R)答案C解析数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法,由此可知C符合题意(2)用数学归纳法证明1aa2an1(a1,nN*),在验证n1时,等式左边的项是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案C解析验证n1时,等式左边的项是1aa2.(3)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xnyn能被xy整除”,当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时,进而需证n_时,命题亦真答案2k1解析由于步长为2,所以2k1后一个奇数应为2k1.题型 用数学归纳法证明恒等式设i为虚数单位,n为正整数,0,2)用数学归纳法证明:(cosisin)ncosnisinn.证明当n1时,左边右边cosisin,所以命题成立;假设当nk时,命题成立,即(cosisin)kcoskisink,则当nk1时,(cosisin)k1(cosisin)k(cosisin)(coskisink)(cosisin)(coskcossinksin)i(sinkcoscosksin)cos(k1)isin(k1),所以当nk1时,命题成立综上,由和可得,(cosisin)ncosnisinn.数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路:用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少(2)注意点:由nk时等式成立,推出nk1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程提醒:归纳假设就是证明nk1时命题成立的条件,必须用上,否则就不是数学归纳法.用数学归纳法证明:(nN*)证明当n1时,左边,右边,左边右边,等式成立假设nk(k1,kN*)时,等式成立即,当nk1时,左边,右边,左边右边,等式成立由知,对nN*,原等式成立题型 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式均成立证明当n2时,左边1,右边.左边右边,不等式成立假设当nk(k2,且kN*)时不等式成立即.则当nk1时,.当nk1时,不等式也成立由知对于一切大于1的自然数n,不等式成立应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)适用范围:当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法(2)关键:用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立,推证nk1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.求证:当n1(nN*)时,(12n)n2.证明(1)当n1时,左边右边,命题成立当n2时,左边(12)22,命题成立(2)假设当nk(k2)时命题成立,即(12k)k2.则当nk1时,有左边(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).当k2时,11,左边k21(k1)k22k1(k1)2.这就是说当nk1时,命题成立由(1)(2)可知当n1(nN*)时原命题成立题型 归纳猜想证明如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)(0y1y20,所以a12,同理可得a26,a312.(2)依题意,得xn,yn,由此及y3xn得2(an1an),即(anan1)22(an1an)由(1)可猜想:ann(n1)(nN*)下面用数学归纳法予以证明:当n1时,命题显然成立;假设当nk时命题成立,即有ank(k1),则当nk1时,由归纳假设及(ak1ak)22(akak1)得ak1k(k1)22k(k1)ak1,即a2(k2k1)ak1k(k1)(k1)(k2)0,解得ak1(k1)(k2)或ak1k(k1)0,nN*.(1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;(2)证明通项公式的正确性解(1)当n1时,由已知得a11,a2a120.所以a11(a10)当n2时,由已知得a1a21,将a11代入并整理得a2a220.所以a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)证明:由(1)知,当n1,2,3时,通项公式成立假设当nk(k3,kN*)时,通项公式成立,即ak.由ak1Sk1Sk,将ak代入上式并整理,得a2ak120,解得ak1(负值舍去)即当nk1时,通项公式也成立由和,可知对所有nN*,an都成立
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