2020版高考数学一轮复习 第12章 选修4系列 第4讲 证明不等式的基本方法讲义 理（含解析）.doc

第4讲证明不等式的基本方法考纲解读了解不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法，并能应用它们证明一些简单的不等式(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考命题的一个热点. 预测2020年将会考查：与基本不等式结合证明不等式；与恒成立、探索性问题结合，题型为解答题，属中档题型.1基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数定理3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立2比较法3综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立1概念辨析(1)设xa2b，Sab21则Sx.()(2)若1，则x2yxy.()(3)|ab|ab|2a|.()(4)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)下列四个不等式：logx10lg x2(x1)；|ab|1)，正确ab0时，|ab|a|b|，不正确；因为ab0，与同号，所以2，正确；由|x1|x2|的几何意义知，|x1|x2|1恒成立，正确，综上正确故选C.(2)已知a，b是不相等的正数，x，y，z(ab)0.25，则x，y，z的大小关系是()Axyz Bxyxz Dyzz2，y2x20，y2x2z2，又x0，y0，z0，yxz.(3)设xa2b25，y2aba24a，若xy，则实数a，b应满足的条件为_答案ab1或a2解析因为xy(a2b25)(2aba24a)(a2b22ab1)(a24a4)(ab1)2(a2)20，若xy，则实数a，b应满足的条件为ab1或a2.题型 比较法证明不等式1设函数f(x)|x2|2x3，记f(x)1的解集为M.(1)求M；(2)当xM时，证明：xf(x)2x2f(x)解(1)由已知，得f(x)当x2时，由f(x)x11，解得x0，此时x0；当x2时，由f(x)3x51，解得x，显然不成立故f(x)1的解集为Mx|x0(2)证明：当xM时，f(x)x1，于是xf(x)2x2f(x)x(x1)2x2(x1)x2x2.令g(x)2，则函数g(x)在(，0上是增函数，g(x)g(0)0.xf(x)2x2f(x)0，故xf(x)2x2f(x)2(2018吉林长春模拟)(1)如果关于x的不等式|x1|x5|m的解集不是空集，求实数m的取值范围；(2)若a，b均为正数，求证：aabbabba.解(1)令y|x1|x5|可知|x1|x5|6，故要使不等式|x1|x5|m的解集不是空集，有m6.(2)证明：由a，b均为正数，则要证aabbabba，只要证aabbba1，整理得ab1.当ab时，ab0，可得ab1；当ab时，ab1.可知a，b均为正数时，ab1，当且仅当ab时等号成立，从而aabbabba成立1作差比较法(1)作差比较法证明不等式的四步骤(2)作差比较法的应用范围当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法2作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤(2)作商比较法的应用范围当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法 已知函数f(x)|x1|x1|，P为不等式f(x)4的解集(1)求P；(2)证明：当m，nP时，|mn4|2|mn|.解(1)f(x)|x1|x1|由f(x)的单调性及f(x)4，得x2或x4的解集Px|x2或x2，|n|2，所以m24，n24，所以(mn4)24(mn)2(m24)(n24)0，所以(mn4)24(mn)2，从而有|mn4|2|mn|.题型 综合法证明不等式(2018合肥三模)已知函数f(x)|x1|x3|.(1)解不等式f(x)x1；(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a0，b0，abc.求证：1.解(1)f(x)x1，即|x1|x3|x1.当x1时，不等式可化为42xx1，x1.又x3时，不等式可化为2x4x1，x5.又x3，3x5.综上所得，1x3或31，n1，am1，bn1，mn4，mn41，原不等式得证1综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件2综合法证明时常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的变形形式有a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b2(ab)2；2.(4)，它的变形形式有a2(a0)；2(ab0)；2(ab0).设函数f(x)|x1|x2|，若不等式f(x)9的解集是x|xp或xq(1)求p，q的值；(2)若实数a，b，c满足a(bc)q，证明：2a2b2c2p13.解(1)由f(x)9，得|x1|x2|9，得或或解得x5或x4，所以不等式f(x)9的解集是x|x5或x4又不等式f(x)9的解集是x|xp或xq，所以p5，q4.(2)若a(bc)q，则a(bc)4，即abac4.因为ab，ac，所以abac，即abac，即4，所以2a2b2c28，当且仅当abc时取等号而p5，所以2a2b2c2p13.原命题得证题型 分析法证明不等式已知函数f(x)|x3|.(1)若不等式f(x1)f(x)a的解集为空集，求实数a的取值范围；(2)若|a|1，|b|3，且a0，判断与f的大小，并说明理由解(1)因为f(x1)f(x)|x4|x3|x43x|1，不等式f(x1)f(x)f.证明：要证f，只需证|ab3|b3a|，即证(ab3)2(b3a)2，又(ab3)2(b3a)2a2b29a2b29(a21)(b29)因为|a|1，|b|(b3a)2成立，所以原不等式成立1分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2b22ab)、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆2用分析法证“若A则B”这个命题的模式为了证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有只需证明命题B2为真，从而有只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真 某同学在一次研究性学习中发现，以下5个不等关系式子：12；2；2；2；2.(1)上述五个式子有相同的不等关系，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式；(2)请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，并证明解(1)23(答案不唯一)(2).证明：要证原不等式，只需证，因为不等式两边都大于0，只需证2a322a32，只需证，只需证a23a2a23a，只需证20，显然成立，所以原不等式成立