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第3讲立体几何中的向量方法 (限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号异面直线所成的角1线面角3二面角2,4探索性问题51.直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(C)(A)110(B)25(C)30 10 (D)22解析:建立空间直角坐标系如图,设BC=CA=CC1=2,则B(0,2,0),A(2,0,0),N(1,0,2),M(1,1,2),所以BM=(1,-1,2),AN=(-1,0,2),所以BMAN=-1+0+4=3,|BM|AN|=65=30.所以cosBM,AN=BMAN|BM|AN|=330=3010.故选C.2.(2018广西南宁三校联考)如图,已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F.(1)求证:A1C平面BDE;(2)求二面角EBDA1的余弦值.(1)证明:连接AC,因为ABCDA1B1C1D1是正四棱柱,所以BDACBDAA1ACAA1=ABD平面A1ACBDA1C.同理可得BEB1CBEA1B1B1CA1B1=B1BE平面A1B1CBEA1C.又因为BDBE=B,所以A1C平面BDE.(2)解:以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设CE=a,则B(2,2,0).E(0,2,a),B1(2,2,4),C(0,2,0),A1(2,0,4),由BEB1CBEB1C=0a=1,所以E(0,2,1).设平面DBE的法向量为n=(x,y,z).由nDB(x,y,z)(2,2,0)=0,所以x+y=0.由nDE(x,y,z)(0,2,1)=0,所以2y+z=0.令y=1,得x=-1,z=-2,所以n=(-1,1,-2).设平面DBA1的法向量为m=(x1,y1,z1).由mDBx1+y1=0,由mDA1x1+2z1=0,令x1=2得y1=-2,z1=-1,所以m=(2,-2,-1).设m与n所成的角为,则cos =mn|m|n|=-2-2+24+4+11+1+4=-236=-69.由题意,二面角A1DBE为锐角,所以二面角A1DBE的余弦值为69.3.(2018郑州市一中入学测试)在如图所示的多面体中,四边形ABCD是平行四边形,四边形BDEF是矩形,ED平面ABCD,ABD=6,AB=2AD.(1)求证:平面BDEF平面ADE;(3)若ED=BD,求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.(1)证明:在ABD中,ABD=6,AB=2AD,由余弦定理,得BD=3AD,从而BD2+AD2=AB2,故BDAD,所以ABD为直角三角形且ADB=90.因为DE平面ABCD,BD平面ABCD,所以DEBD.又ADDE=D,所以BD平面ADE.因为BD平面BDEF,所以平面BDEF平面ADE.(2)解:由(1)可得,在RtABD中,BAD=3,BD=3AD,又由ED=BD,设AD=1,则BD=ED=3.因为DE平面ABCD,BDAD,所以,以点D为坐标原点,DA,DB,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则A(1,0,0),C(-1,3,0),E(0,0,3),F(0,3,3),所以AE=(-1,0,3),AC=(-2,3,0).设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则nAE=0,nAC=0,即-x+3z=0,-2x+3y=0,令z=1,得n=(3,2,1),为平面AEC的一个法向量.因为AF=(-1,3,3),所以cos=nAF|n|AF|=4214.所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为4214.4.(2018广东省广州市海珠区一模)如图,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AD=2BC=2,BAD=ABC=90. (1)证明:PCBC;(2)若直线PC与平面PAD所成角为30,求二面角BPCD的余弦值.(1)证明:取AD的中点为O,连接PO,CO,因为PAD为等边三角形,所以POAD.底面ABCD中,可得四边形ABCO为矩形,所以COAD,因为POCO=O,所以AD平面POC,PC平面POC,ADPC.又ADBC,所以PCBC.(2)解:由平面PAD平面ABCD,POAD知,所以PO平面ABCD,OP,OD,OC两两垂直,直线PC与平面PAD所成角为30,即CPO=30,由AD=2,知PO=3,得CO=1.分别以OC,OD,OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,0,3),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,0,-3),CD=(-1,1,0),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),所以y=0,x-3z=0,则n=(3,0,1),设平面PDC的法向量为m=(x1,y1,z1),所以x1-y1=0,x1-3z1=0,则m=(3,3,1),cos=mn|m|n|=427=277,所以可知二面角BPCD的余弦值为-277.5.(2018南昌市重点中学一模)如图,在三棱柱ABCDEF中,所有棱长均相等,且ABE=ACF=3,CEBF=O,点P为线段ED上的动点(异于E,D两点).(1)当P为线段ED的中点时,证明:OP平面ACFD;(2)当P在线段ED上何处时,二面角OPFE的余弦值为7315?(1)证明:法一当P为ED的中点时,连接CD,因为O为CE的中点,所以OPCD,又OP平面ACFD,CD平面ACFD,所以OP平面ACFD.法二取EF的中点G,因为P为ED的中点,所以PGFD,又PG平面ACFD,FD平面ACFD,所以PG平面ACFD.连接OG,同理可证OG平面ACFD.故平面OPG平面ACFD.又OP平面OPG,所以OP平面ACFD.(2)解:连接AE,AF,AO,令AB=2,因为ABE=ACF=3,所以AB=AC=AF=AE.又O为BF,CE的中点,所以AOBF,AOCE,所以AO平面CBEF,又BC平面CBEF,所以AOBC,取BC的中点S,连接AS,OS,易知BCAS,所以BC平面ASO,所以BCOS,又易知OSCF,所以BCCF,故底面BCFE为正方形.以OB,OE,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),B(1,0,0),E(0,1,0),F(-1,0,0),A(0,0,1),OF=(-1,0,0),BE=(-1,1,0),由AD=BE,得D(-1,1,1),令DP=tDE(0t1),则P(t-1,1,1-t),OP=(t-1,1,1-t).设平面OPF的法向量为m=(x,y,z).则mOP=0,mOF=0,即(t-1)x+y+z(1-t)=0,-x=0,取z=1,则m=(0,t-1,1),为平面OPF的一个法向量.同理设平面DEF的法向量为n,可知n=(1,-1,1)为平面DEF的一个法向量.|cos|=|mn|m|n|=7315,得t=14,故|DP|=14|DE|,即当点P为DE的靠近点D的四等分点时,二面角OPFE的余弦值为7315.
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