2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.2 空间图形的公理（二）训练案 北师大版必修2.doc

1.4.2 空间图形的公理（二）A.基础达标1下列命题中，真命题的个数是()如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行A1B2C3 D4解析：选B.这两个角也可能互补，故是错误的；是正确的，它是等角定理的推广和延伸空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，故是错误的是公理4，是正确的所以结论正确的个数为2.2已知直线a，b，c，下列说法正确的是()Aab，bc，则acBa与b异面，b与c异面，则a与c异面Ca与b相交，b与c相交，则a与c相交Da与b所成的角与b与c所成的角相等，则ac解析：选A.A是公理4的内容如图正方体中，AB，A1B1都与CC1异面，但AB与A1B1不异面，B错，AB，A1B1都与BB1相交，但AB与A1B1不相交，C错；AB，BC都与DD1成90角，但AB与BC不平行，D错3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为边B1C1，C1C，A1A，AD的中点，则EF与GH()A平行 B相交C异面 D不能确定解析：选A.连接A1D，B1C，由三角形的中位线性质可得GHA1D，EFB1C，又因为在正方体中A1DB1C，所以GHEF.4一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()A相交 B异面C相交或异面 D平行解析：选C.如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面5已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是()AMN(ACBD) BMN(ACBD)CMN(ACBD) DMN(ACBD)解析：选D.如图，取BC的中点H，连接MH，HN，MN，据题意有MHAC，MHAC，HNBD，HNBD.在MNH中，由两边之和大于第三边知，MNMHHN(ACBD)6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)DBC的两边与_的两边分别平行且方向相同；(2)DBC的两边与_的两边分别平行且方向相反答案：(1)D1B1C1(2)A1D1B17如图所示是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，BM与ED是异面直线；CN与BE是异面直线以上两个结论中，正确的是_(填序号)解析：在正方体中，直线间的关系比较清楚，所以可以把原图还原为正方体，找出相应直线间的关系答案：8如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是_解析：因为B1BA1A，所以BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角，连接BD.在RtB1BD中，设棱长为1，则B1D.cos BB1D.所以AA1与B1D所成的角的余弦值为.答案：9如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点求证：(1)D1EBF；(2)B1BFD1EA1.证明：(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EMA1B1，EMA1B1.因为A1B1C1D1，且A1B1C1D1，所以EMC1D1，且EMC1D1.所以四边形EMC1D1为平行四边形所以D1EC1M.在矩形BCC1B1中，易得MBC1F，且MBC1F.所以四边形BFC1M为平行四边形，所以BFC1M，所以D1EBF.(2)由(1)知，ED1BF，BB1EA1，又B1BF与D1EA1的对应边方向相同，所以B1BFD1EA1.10如图，ABEDFC为多面体，点O在棱AD上，OA1，OD2，在侧面ACFD中，OAC和ODF为正三角形，在底面ABED中，OAB和ODE也都是正三角形，求证：直线BCEF.证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于OAB与ODE都是正三角形，所以OBDE，OBDE，所以OGOD2.同理，设G是线段DA与线段FC延长线的交点，有OGOD2，又由于G与G都在线段DA的延长线上，所以G与G重合，在GED和GFD中，由OBDE，OBDE和OCDF，OCDF，可知B，C分别是GE，GF的中点，所以BC是GFE的中位线，故BCEF.B.能力提升1已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB2，CD4，EFAB，则EF和CD所成的角是()A90 B45C60 D30解析：选D.如图，作FGCD交BC于G，连接EG，则EGAB，故EFG(或其补角)为EF和CD所成的角因为EFAB，所以EFEG.又因为AB2，CD4，所以EG1，FG2.所以sinEFG.所以EFG30.2正方体的一条体对角线与正方体的棱可组成n对异面直线，则n等于()A2 B3C6 D12解析：选C.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AC1异面的棱有BC，CD，A1D1，A1B1，BB1和DD1.故选C.3如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(把你认为正确的结论的序号都填上)解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故错误，正确答案：4下列命题中正确的是_若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线；如果两条异面直线中一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或异面；若平面平面，直线a，直线b，则直线ab.解析：是公理1，所以是正确的；中，直线l和平面内过l与交点的直线都相交而不是异面，所以是错误的；中，异面直线中的另一条和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以是错误的；中，直线l与平面没有公共点，所以直线l与平面内的直线平行或异面，所以是正确的；中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以是错误的答案：5如图所示，设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且，求证：(1)当时，四边形EFGH是平行四边形；(2)当时，四边形EFGH是梯形证明：在ABD中，.所以EHBD，且EHBD.在CBD中，所以FGBD，且FGBD，所以EHFG，所以顶点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内(1)当时，EHFG，故四边形EFGH为平行四边形；(2)当时，EHFG，故四边形EFGH是梯形6(选做题)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：因为G，F分别为FA，FD的中点，所以GH綊AD.又BC綊AD，所以GH綊BC，所以四边形BCHG为平行四边形(2)由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊FG，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EFBG.由(1)知BG綊CH，所以EFCH，所以EF与CH共面又DFH，所以C，D，F，E四点共面