广东省仲元中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理.doc

广东省仲元中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理第一部分 选择题(共 60 分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A B C D2.抛物线的焦点坐标是 （ ）A. B. C. D. 3.如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )A.B.C.D. 4已知命题，则命题的否定为A BC D5已知向量，若与的夹角为，则A B C D6.若，则的值为（ ）A B C D 7.世界数学名题“问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的，则输出（ ）A 3 B5 C. 6 D78.设复数，且为纯虚数，则 （ ）A-1 B 1 C 2 D-29.设不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为，对于中的任意一点和中的任意一点，的最小值为（ ）ABCD 10.已知函数，要得到的图象，只需将函数的图象（ ）A向右平移个单位 B向右平移个单位 C.向左平移个单位 D向左平移个单位11.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.12.若函数的图象如图所示，则的范围为（ ）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，若向量与共线，则在方向上的投影为 14.已知点在同一个球的球面上，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为 15.正项数列的前项和为，且（），设，则数列的前2016项的和为 16.已知是椭圆：的右焦点，是上一点，当周长最小时，其面积为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知数列是等差数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.18. （本小题满分12分）在锐角ABC中，角的对边分别为，边上的中线，且满足. （1）求的大小； （2）若，求的周长的取值范围.19. （本小题满分12分）如图，在直角梯形中，且分别为线段的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.20. （本小题满分12分）设. （1）求的单调区间；（2）求在的最大值与最小值.21. （本小题满分12分）如下图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分记为，区域中动点到的距离之积为1.（1）求点的轨迹的方程；（2）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求证：的面积恒为定值.22. （本小题满分12分）设函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）如果不等式对于一切的恒成立，求的取值范围；（3）证明：不等式对于一切的恒成立广东仲元中学2017学年第二学期期中考试高二年级理科数学参考答案一、选择题： BABCD ACDCD AB二、填空题 13. 14. 15. 16. 4三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分） 解：(1)由题意得，所以，时，公差，所以; 时，公差，所以.(2)若数列为递增数列，则，所以，所以 ，所以， 所以.18（本小题满分12分）解：（1）在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 因为，所以，+得：， 即， 代入已知条件，得，即， ，又，所以. （2）在中由正弦定理得，又，所以， ， 为锐角三角形， ，周长的取值范围为 19. （本小题满分12分）（1）证明：由题可得，则， 又，且，所以平面. 因为平面，所以平面平面；（2）解：过点作交于点，连结，则平面，又，所以平面，易证，则，得，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则.故，设是平面的法向量，则，令，得，设是平面的法向量，则，令，则，因为，所以二面角的余弦值为.20. （本小题满分12分）解：（1）f （x）= -（x2）（3x-2），令f （x）0得 -2x，令f （x）0得x-2或x，（-，-2）-2（-2，）（，+）0+0极小值极大值的单调增区间为（-2，），单调减区间为（-，-2）和（，）；（2）由单调性可知，当x= -2时，f （x）有极小值f （-2 ）=0，当x=时，f （x）有极大值f （）=；又f （-5）=63，f （）=，x= -2时，f （x）取最小值0，x= -5时，f （x）取最大值63. 21. （本小题满分12分）解：（1）由题意得，.因为点在区域内，所以与同号，得，即点的轨迹的方程为.（2）设直线与轴相交于点，当直线的斜率不存在时，得.当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则，把直线的方程与联立得，由直线与轨迹有且只有一个公共点，知，得，得或.设，由得，同理，得.所以.综上，的面积恒为定值2.22. （本小题满分12分）解：（1）当时，则，故，所以曲线在点处的切线方程为：；（2）因为，所以恒成立，等价于恒成立.设，得，当时，所以在上单调递减，所以时，.因为 恒成立，所以的取值范围是；（3）当时，等价于.设，得.由（2）可知，时，恒成立.所以时，有，所以.所以在上单调递增，当时，.因此当时，恒成立