广东省仲元中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理.doc

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广东省仲元中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理第一部分 选择题(共 60 分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合,则( )A B C D2.抛物线的焦点坐标是 ( )A. B. C. D. 3.如图所示的长方形的长为2,宽为1,在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计),然后统计知豆子的总数为粒,其中落在飞鸟图案中的豆子有粒,据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )A.B.C.D. 4已知命题,则命题的否定为A BC D5已知向量,若与的夹角为,则A B C D6.若,则的值为( )A B C D 7.世界数学名题“问题”:任取一个自然数,如果它是偶数,我们就把它除以2,如果它是奇数,我们就把它乘3再加上1,在这样一个变换下,我们就得到了一个新的自然数,如果反复使用这个变换,我们就会得到一串自然数,猜想:反复进行上述运算后,最后结果为1,现根据此问题设计一个程序框图如下图,执行该程序框图,若输入的,则输出( )A 3 B5 C. 6 D78.设复数,且为纯虚数,则 ( )A-1 B 1 C 2 D-29.设不等式组表示的平面区域为,不等式表示的平面区域为,对于中的任意一点和中的任意一点,的最小值为( )ABCD 10.已知函数,要得到的图象,只需将函数的图象( )A向右平移个单位 B向右平移个单位 C.向左平移个单位 D向左平移个单位11.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的,其三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.B.C.D.12.若函数的图象如图所示,则的范围为( )ABCD二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知,若向量与共线,则在方向上的投影为 14.已知点在同一个球的球面上,若四面体的体积为,球心恰好在棱上,则这个球的表面积为 15.正项数列的前项和为,且(),设,则数列的前2016项的和为 16.已知是椭圆:的右焦点,是上一点,当周长最小时,其面积为 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分10分)已知数列是等差数列,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列为递增数列,数列满足,求数列的前项和.18. (本小题满分12分)在锐角ABC中,角的对边分别为,边上的中线,且满足. (1)求的大小; (2)若,求的周长的取值范围.19. (本小题满分12分)如图,在直角梯形中,且分别为线段的中点,沿把折起,使,得到如下的立体图形.(1)证明:平面平面;(2)若,求二面角的余弦值.20. (本小题满分12分)设. (1)求的单调区间;(2)求在的最大值与最小值.21. (本小题满分12分)如下图,在平面直角坐标系中,直线与直线之间的阴影部分记为,区域中动点到的距离之积为1.(1)求点的轨迹的方程;(2)动直线穿过区域,分别交直线于两点,若直线与轨迹有且只有一个公共点,求证:的面积恒为定值.22. (本小题满分12分)设函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)如果不等式对于一切的恒成立,求的取值范围;(3)证明:不等式对于一切的恒成立广东仲元中学2017学年第二学期期中考试高二年级理科数学参考答案一、选择题: BABCD ACDCD AB二、填空题 13. 14. 15. 16. 4三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分10分) 解:(1)由题意得,所以,时,公差,所以; 时,公差,所以.(2)若数列为递增数列,则,所以,所以 ,所以, 所以.18(本小题满分12分)解:(1)在中,由余弦定理得:, 在中,由余弦定理得:, 因为,所以,+得:, 即, 代入已知条件,得,即, ,又,所以. (2)在中由正弦定理得,又,所以, , 为锐角三角形, ,周长的取值范围为 19. (本小题满分12分)(1)证明:由题可得,则, 又,且,所以平面. 因为平面,所以平面平面;(2)解:过点作交于点,连结,则平面,又,所以平面,易证,则,得,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则.故,设是平面的法向量,则,令,得,设是平面的法向量,则,令,则,因为,所以二面角的余弦值为.20. (本小题满分12分)解:(1)f (x)= -(x2)(3x-2),令f (x)0得 -2x,令f (x)0得x-2或x,(-,-2)-2(-2,)(,+)0+0极小值极大值的单调增区间为(-2,),单调减区间为(-,-2)和(,);(2)由单调性可知,当x= -2时,f (x)有极小值f (-2 )=0,当x=时,f (x)有极大值f ()=;又f (-5)=63,f ()=,x= -2时,f (x)取最小值0,x= -5时,f (x)取最大值63. 21. (本小题满分12分)解:(1)由题意得,.因为点在区域内,所以与同号,得,即点的轨迹的方程为.(2)设直线与轴相交于点,当直线的斜率不存在时,得.当直线的斜率存在时,设其方程为,显然,则,把直线的方程与联立得,由直线与轨迹有且只有一个公共点,知,得,得或.设,由得,同理,得.所以.综上,的面积恒为定值2.22. (本小题满分12分)解:(1)当时,则,故,所以曲线在点处的切线方程为:;(2)因为,所以恒成立,等价于恒成立.设,得,当时,所以在上单调递减,所以时,.因为 恒成立,所以的取值范围是;(3)当时,等价于.设,得.由(2)可知,时,恒成立.所以时,有,所以.所以在上单调递增,当时,.因此当时,恒成立
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