2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）.doc

2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的定义，求解集合，进而求解即可.【详解】由题意，因为集合， 集合，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，绝对值不等式的求解，其中正确求解集合和利用集合交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2. 数列a中，,前项和为，则项数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，数列的通项公式为，利用裂项法求解数列的和，即可得到结论.【详解】由题意，数列的通项公式为，所以其前项和为，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了数列的求和问题，其中利用数列的通项公式，化简为，采用裂项法求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3. 设向量满足，且与的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的数量积的运算公式和向量的模的公式化简，即可求得结果.【详解】由题意可得，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质，平面的模的计算，其中熟记向量的模的计算公式和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 在等比数列中， ，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，可得，解得，由此求得的值.【详解】由题意，等比数列中，所以，解得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量的计算问题，其中熟记等比数列的通项公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5. 等差数列中，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设等差数列的公差为，由题意，求得，进而求解的值，得到答案.【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以，即，解得， 所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的运算，其中熟记等差数列的通项公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6. 已知满足,且,那么下列选项中一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得，从而得，即可得到答案.【详解】由题意，因为，且，所以，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中熟记不等式的性质，以及不等式的推理过程是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7. 等差数列的首项为，公差不为，若成等比数列，则前项的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式、等比数列的性质列出方程，求出公差，由此求出的前6项的和.【详解】因为等差数列的首项为1，公差不为0，且构成等比数列，所以，所以，且，解得，所以的前6项的和，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式的应用，属于基础题，解题是要认真审题，主要等差数列、等比数列的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力.8. 已知的内角的对边分别为,若，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，利用同角三角函数的基本关系式，求得的值，利用正弦定理化简，再利用三角的面积公式列出关系式，进而求解的值.【详解】因为，利用三角函数的基本关系式，求得， 由正弦定理化简，得，又由，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角形的面积公式，以及同角三角函数的基本关系式的应用，其中熟练掌握正弦定理的应用是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9. 已知数列的各项均为正数，则数列的前项和（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，利用等差数列的通项公式可得，又数列的各项均为正数，可得，利用裂项求和，即可求解.【详解】由题意，因为，所以数列为等差数列，且公差为，首项为， 所以， 又因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以数列的前8项的和为，故选C.【点睛】本题主要考查了裂项求和，以及等差数列的通项公式及其性质的应用，其中求得数列的通项公式，合理裂项是解答的关键，着重考查了推理能力和计算能力，属于中档试题.10. 数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，数列满足，利用并项求和，即可得到答案.【详解】由题意，数列满足，所以 ，故选B.【点睛】本题主要考查了数列的并项求和，其中解答中根据数列的通项公式，合理并项是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11. 首项为正数的等差数列满足，则前项和中最大项为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意求得数列的公差为，进而可得通项公式，从而数列的前10项为正数，从第11项开始为负数，即可得到结论.【详解】因为等差数列中满足，所以可得公差为，所以，令，可得，所以数列的前10项为正数，从第11项开始为负数，所以达到最大值的为10，即最大，故选B.【点睛】本题主要考查了等差的数列的前项和的最值问题，其中解答中得出数列的正负变化是解答问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.12. 在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用两个向量的数量积的定义可得，由此求得的值，利用正弦定理可得的值.【详解】由题意，在中， 利用向量的数量积的定义可知，即，即，设，解得，所以，所以由正弦定理可得，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，以及两个向量的数量积的定义的应用，其中利用向量的数量积的定义和正弦、余弦定理求解的比值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡上.13. 设，向量， ， ，且，则_【答案】【解析】【分析】由题意，根据，求得，得到向量的坐标，再由，求得，得到向量的坐标，利用向量的加法的坐标运算公式，即可求解.【详解】根据题意，向量， 由，则，解得，即，又由，则，解得，即，所以，所以.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的求解问题，其中解答中熟记向量的坐标运算公式和平面向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14. 等差数列、满足对任意都有，则=_【答案】1【解析】【分析】由等差数列的性质可得，代入即可得出.【详解】由等差数列的性质可得， 所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其性质的应用，其中熟记等差数列的性质，合理运用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.15. 等比数列的前项和为，若，成等差数列，则其公比为_【答案】【解析】试题分析：、成等差数列 考点：1等差数列性质；2等比数列通项公式16. 在中，是边上的一点，的面积为，则的长为_【答案】【解析】试题分析：如图，设，得，又在中，由余弦定理得，解得或当时，由得，又由得；当时，同理得考点：解三角形中的正弦定理、余弦定理【易错点晴】已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论可按如下步骤和方法进行：先看已知角的性质和已知两边的大小关系如已知a，b，A，（一）若A为钝角或直角，当时，则无解；当时，有只有一个解；（二）若A为锐角，结合下图理解若或，则只有一个解若，则有两解若，则无解也可根据的关系及与1的大小关系来确定三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题卡的对应位置.17. 解下列不等式（1）； （2）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式，解得，再利用对数函数的性质，即可得到答案；（2）由不等式，得，即可求解.【详解】（1）由不等式，解得，再利用对数函数的性质，解得，即不等式的解集为.（2）由不等式，得，解得，即不等式的解集为.【点睛】本题主要考查了不等式的求解，其中熟记分式不等式的解法，以及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18. 已知等比数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意，列出方程组，求得，再由等比数列的通项公式，即可得到结果；（2）由（1）可知，所以是等差数列，利用等差数列的求和公式，即可求解.【详解】（1），所以，求数列的通项公式为： .（2）由（1）可知，所以是等差数列所以，.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，及等差数列前项和公式的应用，其中熟记等差数列、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.19. 已知的内角 所对的边分别为向量，且.（1）求；（2）若，求周长的最大值【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）由，得，由正弦定理求得，即可得到；（2）由正弦定理可得，得到周长，进而求得三角周长的最大值.【详解】（1） 由正弦定理可得：所以，（2）由正弦定理可得：所以，周长 又 ，则，所以，当时，周长最大值是.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20. 已知数列的前项和=，数列为等差数列，且.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求证：数列的前项和.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由数列的前项和，利用和的关系，即可求解，利用，分别令，求得，得到；（2）由（1）得，利用裂项求和，即可求得数列的前项和.【详解】（1）（2） 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项法求和”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.21. 已知数列中，其前项和满足：.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由当时，得到，得，即可得到数列为等比数列；（2）由（1）可知：，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和.【详解】（1）设，则当时所以，所以，数列是等比数列（2）由（1）可知：，则，【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.22. 已知数列中 ，（）.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）（此问题仅理科作答）设，求证：.（2）（此问题仅文科作答）设, 求数列的最大项和最小项.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由，利用叠加法，解求得，进而利用等比数列求和公式，求得；（2）由（1）得，因为：，所以，所以，利用等比数列的求和公式，即可作出证明；（3）由（1）得，分是奇数和是偶数讨论，即可求解数列的最大项和最小项.【详解】（1） 理科（2）因为：，所以，所以， 文科（3）当是奇数时，递增，则当是偶数递减，则所以，即：【点睛】在解决等差、等比数列的综合应用问题，试题难度较大，属于难题，解答时：一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.