资源描述
五解析几何(B)1.(2018上饶三模)已知椭圆C1:x2a2+y2=1(a1)的离心率e=22,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当AOB=90时,求AB的直线方程.2.(2018烟台模拟)已知动圆C与圆E:x2+(y-1)2=14外切,并与直线y=-12相切.(1)求动圆圆心C的轨迹;(2)若从点P(m,-4)作曲线的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点.1.解:(1)由e2=c2a2=a2-1a2=12,得a=2,c=1,故F1(-1,0),F2(1,0),依条件可知|MP|=|MF2|,所以M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以C2的方程为y2=4x.(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.当AB斜率存在时,设AB:y=kx+m,由y=kx+m,x22+y2=1消y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因为AB与C1相切,所以=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,得m2=2k2+11,又由y=kx+m,y2=4x消y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4-2kmk2,x1x2=m2k2,且有k20,=(2km-4)2-4k2m20,得k0,km0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b.由抛物线的方程可得y=14x2,所以y=12x.所以过A(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,代入整理得y=12x1x-14x12.因为切线过P(m,-4),代入整理得x12-2mx1-16=0,同理可得x22-2mx2-16=0.所以x1,x2为方程x2-2mx-16=0的两个根,所以x1+x2=2m,x1x2=-16.由可得x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.所以b=4,k=m2,AB的方程为y=m2x+4.当x=0时,y=4,所以直线AB恒过定点(0,4).3.解:(1)依题意F(p2,0),当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k(x-p2),由y2=2px,y=k(x-p2),化简得y2-2pky-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程y2=4x.(2)设D(x0,y0),B(t24,t),则E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A(4t2,-4t),因为kEF=-t2,ADEF,所以kAD=2t,故直线AD:y+4t=2t(x-4t2),即2x-ty-4-8t2=0,由y2=4x,2x-ty-4-8t2=0,化简得y2-2ty-8-16t2=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-16t2.所以|AD|=1+t24|y1-y0|=1+t24(y1+y0)2-4y1y0=4+t2t2+16t2+8,设点B到直线AD的距离为d,则d=|t22-t2-4-8t2|4+t2=|t2+16t2+8|24+t2,所以SABD=12|AD|d=14(t2+16t2+8)316,当且仅当t4=16,即t=2时取等号,当t=2时,AD:x-y-3=0,当t=-2时,AD:x+y-3=0.4.解:(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,点M(2,1)在椭圆 C上.所以e=ca=32,4a2+1b2=1,a2=b2+c2,解得a=22,b=2,c=6,所以椭圆C的方程为x28+y22=1.(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=12,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=12x+m.由y=12x+m,x28+y22=1,得x2+2mx+2m2-4=0.又直线l与椭圆交于A,B两个不同点,=(2m)2-4(2m2-4)0,于是-2m2.AOB为钝角等价于OAOB0,且m0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(12x1+m)(12x2+m)=54x1x2+m2(x1+x2)+m20,由韦达定理x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,代入上式,化简整理得m22,即-2m0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且ADEF,求ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.4.(2018南充模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,点M(2,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点,若AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.
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