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4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用【选题明细表】 知识点、方法题号两圆位置关系的判断1,2两圆相交问题6,8,10两圆相切问题3,4,7综合应用问题5,9,11,121.(2018陕西西安高一期末)两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是(B)(A)相离(B)相交(C)内切(D)外切解析:把x2+y2-8x+6y+9=0化为(x-4)2+(y+3)2=16,又x2+y2=9,所以两圆心的坐标分别为(4,-3)和(0,0),两半径分别为R=4和r=3,则两圆心之间的距离d=5,因为4-354+3即R-rdR+r,所以两圆的位置关系是相交.2.(2018辽宁大连期末)已知圆C1:x2+y2-2x-4y+6=0和圆C2:x2+y2-6y=0,则两圆的位置关系为(B)(A)内含(B)内切(C)相交(D)外切解析:两圆的标准方程为(x-)2+(y-2)2=1,x2+(y-3)2=9,圆心坐标分别为C1(,2),C2(0,3),半径分别为r1=1,r2=3,则|C1C2|=2=3-1=r2-r1,即两圆相内切,故选B.3.两圆(x-a)2+(y-b)2=c2和(x-b)2+(y-a)2=c2相切,则(B)(A)(a-b)2=c2(B)(a-b)2=2c2(C)(a+b)2=c2(D)(a+b)2=2c2解析:两圆半径相等,故两圆外切,圆心距d=|b-a|=2|c|,所以(b-a)2=2c2,即(a-b)2=2c2,故选B.4.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为(D)(A)(x-4)2+(y-6)2=6 (B)(x4)2+(y-6)2=6(C)(x-4)2+(y-6)2=36(D)(x4)2+(y-6)2=36解析:由题意知,半径为6的圆与x轴相切,且圆心在x轴上方.设所求圆的圆心坐标为(a,b),则b=6,再由=5,可以解得a=4,故所求圆的方程为(x4)2+(y-6)2=36.故选D.5.(2018浙江台州检测)台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,则城市B处于危险区内的时间为(B)(A)0.5 h (B)1 h(C)1.5 h (D)2 h解析:如图,以A地为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则以B(40,0)为圆心,30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区,取MN的中点E,连接BE,BN,BM,则BEMN,BN=BM,ABE为等腰直角三角形,因为AB=40 km,所以BE=20 km,在RtBEN中,NE=10(km),则|MN|=20(km),所以时间为1 h.故选B.6.(2018郑州一中高一测试)圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0的公共弦的弦长为.解析:两圆相交弦所在的直线方程为3x-4y+6=0,圆x2+y2+2x-6y+1=0的圆心到直线3x-4y+6=0的距离d=,所以弦长为2=2=.答案:7.求过点A(4,-1),且与圆C:(x+1)2+(y-3)2=5相切于点B(1,2)的圆的方程.解:设所求圆的圆心M(a,b),半径为r,已知圆C的圆心为C(-1,3),因为切点B在连心线上,即C,B,M三点共线,所以=,即a+2b-5=0.直线AB的方程为=,即x+y-3=0,所以AB的垂直平分线为x-y-2=0,圆心M在AB的垂直平分线上,所以a-b-2=0.联立解得故圆心坐标为M(3,1),r=|MB|=,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.8.已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于两点.(1)求公共弦AB所在的直线方程;(2)求圆心在直线AB上,且经过A,B两点的圆的方程;(3)求经过A,B两点且面积最小的圆的方程.解:(1)圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0的公共弦所在直线方程为x2+y2+2x+2y-8-(x2+y2-2x+10y-24)=0,即x-2y+4=0.(2)由解得或所以A,B两点的坐标分别为(-4,0),(0,2),中点坐标为(-2,1),则|AB|=2,故所求圆的圆心为(-2,1),半径为,所以圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.(3)经过A,B两点且面积最小的圆即为以AB为直径的圆,与(2)的圆是相同的.则所求圆的方程为x2+y2+4x-2y=0.9.(2018山东泰安模拟)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(A)(A)5-4(B)-1(C)6-2(D)解析:两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作点C1关于x轴的对称点C1(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C1C2|=5,所以(|PM|+|PN|)min=5-(1+3)=5-4.10.已知圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.解析:圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,即2.整理,得3k2-4k0.解得0k.故k的最大值为.答案:11.已知隧道的截面是半径长为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?假设货车的最大宽度为a m,那么要正常驶入该隧道,货车的限高为多少?解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,那么半圆的方程为x2+y2=16(y0).将x=2.7代入,得y=3,所以,在离中心线2.7 m处,隧道的高度低于货车的高度.因此,货车不能驶入这个隧道.将x=a代入x2+y2=16(y0),得y=,所以货车要正常驶入这个隧道,最大高度(即限高)为m.12.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,=1,解得k=0或k=-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上,由题意知,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则2-1CD2+1,即13.由5a2-12a+80得aR;由5a2-12a0,得0a.所以圆C的横坐标a的取值范围为0,.
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