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1.1.7柱、锥、台和球的体积1.已知高为3的直棱柱ABCABC的底面是边长为1的正三角形(如图所示).则三棱锥BABC的体积为(D)(A)(B)(C)(D)解析:依题意:=312=.故选D.2.圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是(C)(A)11(B)16(C)17(D)18解析:如图,设圆锥底半径OB=R,高PO=h,因为O为PO为中点,所以PO=,因为=,所以OA=,所以V圆锥PO=()2=R2h.V圆台OO=()2+R2+R)=R2h.所以=,故选C.3.一球的体积扩大为原来的8倍,则此球的表面积扩大为原来的(B)(A)2倍(B)4倍(C)2倍 (D)8倍解析:设球半径为r,扩大后半径为R,则有R3=8r3,所以R=2r.所以扩大后球表面积为4R2=4(2r)2=16r2,而原球表面积为4r2.故扩大为原来的4倍.4.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成),所有的棱长均为1,其中每个正四棱锥的高均为,故正八面体的体积V=2V正四棱锥=212=.故选B.5.已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(C)(A)36(B)64(C)144(D)256解析:由题意知当三棱锥的三条棱两两垂直时,其体积最大.设球的半径为r,则r2r=36,解得r=6,所以球O的表面积S=4r2=144,选C.6.在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=120,若使ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是(D)(A)6(B)5(C)4(D)3解析:如图所示,所形成的几何体是一个大圆锥挖去一个小圆锥剩下的部分,这两个圆锥的底面半径r=AD=ABsin 60=2=,小圆锥的高是BD=ABcos 60=2=1,大圆锥的高是CD=BD+BC=1+3=4,则所形成的几何体的体积是()24-()21=3.7.如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图(3)水平放置时,液面高度为28 cm,则这个简单几何体的总高度为(A)(A)29 cm (B)30 cm (C)32 cm (D)48 cm解析:在题图(2)和题图(3)中,瓶子上部没有液体的部分容积相等,设这个简单几何体的总高度为h,则有12(h-20)=32(h-28),解得h=29(cm).8.如图所示,扇形所在圆的圆心角为90,弦AB将这个扇形分成两个部分,这两部分各以AO所在直线为轴旋转一周,则这两部分旋转所得旋转体的体积V1和V2之比为.解析:ABO绕AO所在直线旋转一周得圆锥,扇形ABO绕AO所在直线旋转一周得半球体,设AO=R,V半球=R3,V圆锥=RR2=R3,所以V1V2=V圆锥(V半球-V圆锥)=11.答案:119.如图(1),一个正三棱柱形容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,现将容器放倒,把一个侧面作为底面,这时水面恰好为中截面,如图(2),则原来容器内水面的高度为.图(1)图(2)解析:设题图(1)中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=SABCh.又题图(2)中水组成了一个直四棱柱,其底面积为SABC,高度为2a,则V=SABC2a,所以h=a.答案:a10.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,P是BC的中点,点Q是棱CC1上的动点.(1)点Q在何位置时,直线D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;(2)求三棱锥B1DBQ的体积;(3)若点Q是棱CC1的中点时,记过点A,P,Q三点的平面截正方体所得截面面积为S,求S.解:(1)当Q是棱CC1的中点时,直线D1Q,DC,AP交于一点,理由:延长D1Q、DC交于点O,则QC为DD1O的中位线,所以C为DO的中点,延长AP、DC交于点O,则PC为ADO的中位线,所以C为DO的中点,所以点O与点O重合,所以直线D1Q、DC、AP交于一点.(2)=(22)2=.(3)连接AD1、PQ,由(1)知,AD1PQ,所以梯形APQD1为所求截面,梯形APQD1的高为=,S=(+2)=.11.有一个倒置圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.解:如图作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=(r)23r-r3=r3.将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为h,从而容器内水的体积是V=(h)2h=h3.由V=V得h=r.
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