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第十二章推理与证明考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.合情推理与演绎推理1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行简单的推理3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异2017课标全国,9;2017北京,14;2016课标全国,16;2016北京,8;2016山东,12选择题、填空题、解答题2.直接证明与间接证明1.了解直接证明的两种基本方法:分析法与综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点2.了解间接证明的一种基本方法:反证法;了解反证法的思考过程、特点2016江苏,20;2014山东,4;2013湖北,20分析解读本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.五年高考考点一合情推理与演绎推理1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位:次)63a7560637270a-1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛答案B2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;该小组人数的最小值为.答案6123.(2016课标全国,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.答案1和34.(2016山东,12,5分)观察下列等式:sin3-2+sin23-2=4312;sin5-2+sin25-2+sin35-2+sin45-2=4323;sin7-2+sin27-2+sin37-2+sin67-2=4334;sin9-2+sin29-2+sin39-2+sin89-2=4345;照此规律,sin2n+1-2+sin22n+1-2+sin32n+1-2+sin2n2n+1-2=.答案4n(n+1)35.(2015陕西,16,5分)观察下列等式1-12=121-12+13-14=13+141-12+13-14+15-16=14+15+16据此规律,第n个等式可为.答案1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n6.(2014课标,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案A教师用书专用(711)7.(2014福建,16,4分)已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:a2;b=2;c0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于.答案2018.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).答案(1)3,1,6(2)799.(2013陕西,13,5分)观察下列等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此规律,第n个等式可为.答案(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)10.(2014江西,21,14分)将连续正整数1,2,n(nN*)从小到大排列构成一个数123n,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123 456 789 101 112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n2 014时,求F(n)的表达式;(3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S=n|h(n)=1,n100,nN*,求当nS时p(n)的最大值.解析(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=11192.(2)F(n)=(3)当n=b(1b9,bN*)时,g(n)=0;当n=10k+b(1k9,0b9,kN*,bN)时,g(n)=k;当n=100时,g(n)=11,即g(n)=0,1n9,k,n=10k+b,1k9,0b9,kN*,bN,11,n=100.同理有f(n)=0,1n8,k,n=10k+b-1,1k8,0b9,kN*,bN,n-80,89n98,20,n=99,100.由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以当n100时,S=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.当n=9时,p(9)=0;当n=90时,p(90)=g(90)F(90)=9171=119;当n=10k+9(1k8,kN*)时,p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k20k+9,由于y=k20k+9关于k单调递增,故当n=10k+9(1k8,kN*)时,p(n)的最大值为p(89)=8169.又8169119,所以当nS时,p(n)的最大值为119.11.(2013江西,21,14分)设函数f(x)=1ax,0xa,11-a(1-x),ax1.a为常数且a(0,1).(1)当a=12时,求ff13;(2)若x0满足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1, f(f(x1),B(x2, f(f(x2),C(a2,0),记ABC的面积为S(a),求S(a)在区间13,12上的最大值和最小值.解析(1)当a=12时, f13=23,ff13=f23=21-23=23.(2)f(f(x)=1a2x,0xa2,1a(1-a)(a-x),a2xa,1(1-a)2(x-a),axa2-a+1,1a(1-a)(1-x),a2-a+1x1.当0xa2时,由1a2x=x解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当a2xa时,由1a(1-a)(a-x)=x解得x=a-a2+a+1(a2,a),因fa-a2+a+1=1aa-a2+a+1=1-a2+a+1a-a2+a+1,故x=a-a2+a+1为f(x)的二阶周期点;当axa2-a+1时,由1(1-a)2(x-a)=x解得x=12-a(a,a2-a+1),因f12-a=11-a1-12-a=12-a,故x=12-a不是f(x)的二阶周期点;当a2-a+1x1时,由1a(1-a)(1-x)=x解得x=1-a2+a+1(a2-a+1,1),因f1-a2+a+1=11-a1-1-a2+a+1=a-a2+a+11-a2+a+1,故x=1-a2+a+1为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=a-a2+a+1,x2=1-a2+a+1.(3)由(2)得Aa-a2+a+1,a-a2+a+1,B1-a2+a+1,1-a2+a+1,则S(a)=12a2(1-a)-a2+a+1,S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)2,因为a13,12,a2+a0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g(a)=3a2-4a-2=3a-2-103a-2+103,因a(0,1),g(a)0,故对于任意a13,12,g(a)=a3-2a2-2a+20,S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)20.则S(a)在区间13,12上单调递增,故S(a)在区间13,12上的最小值为S13=133,最大值为S12=120.考点二直接证明与间接证明1.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案A2.(2013四川,10,5分)设函数f(x)=ex+x-a(aR,e为自然对数的底数).若存在b0,1使f(f(b)=b成立,则a的取值范围是()A.1,eB.1,1+eC.e,1+eD.0,1答案A3.(2016江苏,20,16分)记U=1,2,100.对数列an(nN*)和U的子集T,若T=,定义ST=0;若T=t1,t2,tk,定义ST=at1+at2+atk.例如:T=1,3,66时,ST=a1+a3+a66.现设an(nN*)是公比为3的等比数列,且当T=2,4时,ST=30.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意正整数k(1k100),若T1,2,k,求证:ST0,nN*,所以STa1+a2+ak=1+3+3k-1=12(3k-1)3k.因此,STak+1.(3)下面分三种情况证明.若D是C的子集,则SC+SCD=SC+SDSD+SD=2SD.若C是D的子集,则SC+SCD=SC+SC=2SC2SD.若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=CUD,F=DUC,则E,F,EF=.于是SC=SE+SCD,SD=SF+SCD,进而由SCSD得SESF.设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k1,l1,kl.由(2)知,SEak+1.于是3l-1=alSFSEak+1=3k,所以l-1k,即lk.又kl,故lk-1.从而SFa1+a2+al=1+3+3l-1=3l-123k-1-12=ak-12SE-12,故SE2SF+1,所以SC-SCD2(SD-SCD)+1,即SC+SCD2SD+1.综合得,SC+SCD2SD.教师用书专用(45)4.(2014天津,20,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中ai,biM,i=1,2,n.证明:若anbn,则st.解析(1)当q=2,n=3时,M=0,1,A=x|x=x1+x22+x322,xiM,i=1,2,3.可得,A=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)证明:由s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,biM,i=1,2,n及anbn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1(q-1)+(q-1)q+(q-1)qn-2-qn-1=(q-1)(1-qn-1)1-q-qn-1=-10.所以,st.5.(2013湖北,20,13分)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1d2d3.过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中.(1)证明:中截面DEFG是梯形;(2)在ABC中,记BC=a,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估=S中h来估算.已知V=13(d1+d2+d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明.解析(1)依题意A1A2平面ABC,B1B2平面ABC,C1C2平面ABC,所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1d2d3,因此四边形A1A2B2B1,四边形A1A2C2C1均是梯形.由AA2平面MEFN,AA2平面AA2B2B,且平面AA2B2B平面MEFN=ME,可得AA2ME,即A1A2DE.同理可证A1A2FG,所以DEFG.又M,N分别为AB,AC的中点,则D,E,F,G分别为A1B1,A2B2,A2C2,A1C1的中点,即DE,FG分别为梯形A1A2B2B1,梯形A1A2C2C1的中位线.因此DE=12(A1A2+B1B2)=12(d1+d2),FG=12(A1A2+C1C2)=12(d1+d3),而d1d2d3,故DEFG,所以中截面DEFG是梯形.(2)V估V.证明如下:由A1A2平面ABC,MN平面ABC,可得A1A2MN.而EMA1A2,所以EMMN,同理可得FNMN.由MN是ABC的中位线,可得MN=12BC=12a,即为梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG=12d1+d22+d1+d32a2=a8(2d1+d2+d3),即V估=S中h=ah8(2d1+d2+d3).又S=12ah,所以V=13(d1+d2+d3)S=ah6(d1+d2+d3).于是V-V估=ah6(d1+d2+d3)-ah8(2d1+d2+d3)=ah24(d2-d1)+(d3-d1).由d1d20,d3-d10,故V估2时,(x+1)(x-1)0,f (x)=-3(x+1)(x-1)0.f(x)=-x3+3x在(2,+)内是增函数.考点二直接证明与间接证明6.(2018吉林三校联考,4)用反证法证明“自然数a,b,c中至多有一个偶数”时,假设原命题不成立,等价于()A.a,b,c中没有偶数B.a,b,c中恰好有一个偶数C.a,b,c中至少有一个偶数D.a,b,c中至少有两个偶数答案D7.(2017山西大学附中第二次模拟,17)在等比数列an中,a3=32,S3=92.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log26a2n+1,且bn为递增数列,若cn=1bnbn+1,求证:c1+c2+c3+cn14.解析(1)设an的公比为q(q0).a3=32,S3=92,S3-a3=a1+a2=a1(1+q)=3,a3=a1q2=32q=1,a1=32或q=-12,a1=6,an=32或an=6-12n-1.(2)证明:由题意知bn=log26a2n+1=log266-122n=log222n=2n,cn=1bnbn+1=14n(n+1)=141n-1n+1,c1+c2+c3+cn=141-12+12-13+1n-1n+1=141-1n+1=14-14(n+1)14.8.(2016河南南阳期中,18)已知数列log2(an-1)(nN*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(1)求数列an的通项公式;(2)证明1a2-a1+1a3-a2+1an+1-an1.解析(1)设等差数列log2(an-1)的公差为d.由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,故d=1.所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.(2)证明:因为1an+1-an=12n+1-2n=12n,所以1a2-a1+1a3-a2+1an+1-an=121+122+123+12n=12-12n121-12=1-12n0(i=1,2,3,n),观察下列不等式:a1+a22a1a2;a1+a2+a333a1a2a3;a1+a2+a3+a444a1a2a3a4;照此规律,当nN*,n2时,a1+a2+ann.答案na1a2an三、解答题(共15分)4.(2017湖北华中师大一附中期中模拟,21)已知函数f(x)=ln x+ax.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=2时,函数f(x)满足f(x1)=f(x2)(x1x2),求证x1+x24.参考公式:ln(m-x)=1x-m,m为常数解析(1)f(x)=ln x+ax,f (x)=1x-ax2=x-ax2,x0,当a0时, f (x)0总成立;当a0时,令f (x)=0,得x=a.当x(0,a)时, f (x)0.综上所述,当a0时, f(x)在(0,+)上单调递增;当a0时, f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增.(2)当a=2时, f(x)=ln x+2x.不妨令x1x10,要证明x1+x24,即证x24-x1.由(1)知f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,则0x12,只需证f(x2)f(4-x1),又f(x1)=f(x2),即证f(x1)f(4-x1).设g(x)=f(x)-f(4-x)(0x2),则g(x)=ln x+2x-ln(4-x)-24-x,则g(x)=1x-2x2-1x-4-2(x-4)2=-8(x-2)2x2(x-4)2g(2)=0,所以f(x)f(4-x)(0xf(4-x1).所以x1+x24.C组20162018年模拟方法题组方法1合情推理与演绎推理1.(2018广东肇庆一模,14)观察下列不等式:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,照此规律,第五个不等式为.答案1+122+132+142+152+1621162.(2017上海浦东期中联考,12)在RtABC中,两直角边长分别为a、b,设h为斜边上的高,则1h2=1a2+1b2,由此类比:三棱锥P-ABC中的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,且长度分别为a、b、c,设棱锥底面ABC上的高为h,则.答案1h2=1a2+1b2+1c2方法2直接证明的方法3.(2017皖南八校联考,17)已知等差数列an的前n项和为Sn,bn=1Sn,且a2b2=58,S5=352.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)求证:b1+b2+bn32.解析(1)设an的公差为d.bn=1Sn,a2b2=58,S5=352,(a1+d)12a1+d=58,5a1+542d=352,解得a1=32,d=1.an=n+12,Sn=n(n+2)2,bn=2n(n+2).(2)证明:b1+b2+bn=213+224+235+2n(n+2)=1-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2=32-1n+1-1n+232.
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