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第三讲正态分布、统计与统计案例考点一正态分布1正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线关于直线x对称，且在x处达到峰值(2)曲线与x轴之间的面积为1.(3)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散2正态分布XN(，2)的三个常用数据(1)P(X)0.6826；(2)P(2X2)0.9544；(3)P(3X3)0.9974.解题指导解(1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为0.0026，故XB(16,0.0026)因此P(X1)1P(X0)10.9974160.0408.X的数学期望为E(X)160.00260.0416.(2)()如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的()由9.97，s0.212，得的估计值为9.97，的估计值为0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3，3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除(3，3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为(169.979.22)10.02，因此的估计值为10.02.160.2122169.9721591.134，剔除(3，3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为(1591.1349.2221510.022)0.008，因此的估计值为0.09.正态分布应关注的两点(1)利用P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值直接求解(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1来求解对点训练1(2018兰州检测)设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)解析由题图可知102，12，P(Y2)P(X1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(Xt)P(Yt)，而P(Xt)1P(Xt)，P(Yt)1P(Yt)，P(Xt)P(Yt)，故C正确，D错答案C2某校组织了“2017年第15届希望杯数学竞赛(第一试)”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(72,121)(单位：分)，此次考生共有500人，估计数学成绩在72分到83分之间的人数约为(参数数据：P(X)0.6826，P(2X2)0.9544.)()A238 B170 C340 D477解析因为XN(72,121)，所以72，11，又P(X)0.6826，所以P(61X83)0.6826，因为该正态曲线关于直线x72对称，所以P(72X83)P(61X6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异(1)求回归直线方程的关键正确理解计算，的公式和准确的计算，其中线性回归方程必过样本中心点(，)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值(2)独立性检验的关键根据22列联表准确计算K2，若22列联表没有列出来，要先列出此表K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大对点训练1角度1某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)如下表：年份x20112012201320142015储蓄存款y/千亿元567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令tx2010，zy5得到下表：时间代号t12345z01235(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程x，其中，)解(1)令z关于t的线性回归方程为t，3，2.2，izi45，55，1.2，2.231.21.4，1.2t1.4.(2)将tx2010，zy5，代入1.2t1.4，得51.2(x2010)1.4，即1.2x2408.4.(3)1.220202408.415.6(千亿元)，预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元2角度2某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人成绩为优秀的概率为.优秀非优秀合计甲班10乙班30合计110(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩是否优秀与班级有关系”参考公式与临界值表：K2.P(K2k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解(1)优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110(2)根据列联表中的数据，得到K27.48610.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩是否优秀与班级有关系”.1(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图：根据该折线图，下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析折线图呈现出的是一个逐渐上升的趋势，但是并不是每个月都在增加，故A说法错误；折线图中按照年份进行划分，可以看出每年的游客量都在逐年增加，故B说法正确；折线图中每年的高峰出现在每年的7,8月，故C说法正确；每年的1月至6月相对于7月至12月的波动性更小，变化的幅度较小，说明变化比较平稳，故D说法正确答案A2(2017山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为x，已知i225，i1600，4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A160 B163 C166 D170解析由题意可得22.5，160，160422.570，即4x70.当x24时，42470166，故选C.答案C3(2018江苏卷)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为_解析5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91，则这5位裁判打出的分数的平均数为(8989909191)90.答案904(2017全国卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2.解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”由题意知P(A)P(BC)P(B)P(C)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为5052.35(kg)1.统计与统计案例在选择或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在34题的位置2统计的解答题多在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：频率分布直方图、茎叶图择一与随机变量的分布列、数学期望、方差、正态分布相交汇考查；频率分布直方图、茎叶图择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等热点课题19概率与统计的交汇问题感悟体验(2018河北衡水中学调研)某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：x(月份)12345y(万盒)44566(1)该同学为了求出y关于x的线性回归方程x，根据表中数据已经正确计算出0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；(2)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为X，求X的分布列和数学期望解(1)由题可得，(12345)3，(44566)5.线性回归方程x过点(，)，50.633.2.该厂6月份生产的甲胶囊的产量数为0.663.26.8(万盒)(2)由题意知，X0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的分布列为X0123P则E(X)0123.专题跟踪训练(三十)一、选择题1(2018长春市第一次质量监测)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图所示，则其中位数和众数分别为()A.95,94 B92,86C99,86 D95,91解析由题中茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故中位数为92，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.答案B2(2018黔东南州第一次联考)近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图所示，其中年龄在区间30,40)内的有2500人，在区间20,30)内的有1200人，则m的值为()A0.013 B0.13 C0.012 D0.12解析由题意，得年龄在区间30,40)内的频率为0.025100.25，则赞成高校招生改革的市民有10000(人)，因为年龄在区间20,30)内的有1200人，所以m0.012.答案C3已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.0.4x2.3 B.2x2.4C.2x9.5 D.0.3x4.4解析变量x与y正相关，且样本中心点为(3,3.5)，应用排除法可知选项A符合要求故选A.答案A4(2018太原模拟)某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,102)，则用电量在320度以上的户数约为(参考数据：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%，P(3320)1P(280320)(195.44%)0.0228，00228100022.823，用电量在320度以上的户数约为23.故选B.答案B5(2018广东省百校联盟第二次联考)下表是我国某城市在2017年1月份至10月份期间各月最低温度与最高温度(单位：)的数据一览表.月份12345678910最高温度/59911172427303121最低温度/1231271719232510已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是()A最低温度与最高温度为正相关B每月最高温度与最低温度的平均值在前8个月逐月增加C月温差(最高温度减最低温度)的最大值出现在1月D1月至4月的月温差(最高温度减最低温度)相对于7月至10月，波动性更大解析将最高温度、最低温度、温差列表如下，月份12345678910最高温度/59911172427303121最低温度/1231271719232510温差度/171281310787611由表格可知，最低温度大致随最高温度的增大而增大，A正确；每月最高温度与最低温度的平均值在前8个月不是逐月增加，B错；月温差的最大值出现在1月，C正确；1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，D正确故选B.答案B6(2018赣州一模)以下四个命题中是真命题的为()从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；在回归直线方程0.2x12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y平均增加0.2个单位；对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大A B C D解析 为系统抽样，故不正确；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故正确；由0.2(x1)120.2x120.2知正确；对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故不正确故选D.答案D二、填空题7(2018怀化二模)某校高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为_解析根据系统抽样的规则“等距离”抽取，则抽取的号码差相等，易知相邻两个学号之间的差为1138，所以在19与35之间还有27.答案278(2018安徽淮北模拟)某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为541，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为_解析员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为541，从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组人数为20202，设C组员工总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为，即m(m1)90，解得m10.设员工总数为x，则由，可得x100.答案1009某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出m与年销售额t(单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：年广告支出m24568年销售额t3040p5070经测算，年广告支出m与年销售额t满足线性回归方程6.5m17.5，则p_.解析由于回归直线过样本点的中心，5，代入6.5m17.5，解得p60.答案60三、解答题10(2018河南新乡一模)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；(2)若轮胎的宽度在194,196内，则称这个轮胎是标准轮胎试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好解(1)甲厂10个轮胎宽度的平均值：甲(195194196193194197196195193197)195(mm)，乙厂10个轮胎宽度的平均值：乙(195196193192195194195192195193)194(mm)(2)甲厂10个轮胎中宽度在194,196内的数据为195,194,196,194,196,195，平均数：1(195194196194196195)195，方差；s(195195)2(194195)2(196195)2(194195)2(196195)2(195195)2，乙厂10个轮胎中宽度在194,196内的数据为195,196,195,194,195,195，平均数：2(195196195194195195)195，方差：s(195195)2(196195)2(195195)2(194195)2(195195)2(195195)2，两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，乙厂的轮胎相对更好11(2018河北石家庄二模)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年18月促销费用x(万元)和产品销量y(万件)的具体数据：月份12345678促销费用x2361013211518产品销量y11233.5544.5(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程x(系数精确到0.01)；(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制订奖励制度：用z(单位：件)表示日销量，若z1800,2000)，则每位员工每日奖励100元；若z2000,2100)，则每位员工每日奖励150元；若z2100，)，则每位员工每日奖励200元现已知该网站6月份日销量z服从正态分布N(2000,10000)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元(当月奖励金额总数精确到百分位)参考数据：xiyi338.5，x1308，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i1,2,3，8.参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归方程x的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(Z)0.6827，P(2Z2)0.9545.解(1)由题意可知(2361013211518)11，(11233.5544.5)3，0.22，30.22110.58，y关于x的回归方程为0.22x0.58.(2)该网站6月份日销量z服从正态分布N(2000,10000)，P(1800z2000)0.47725，P(2000z2100)0.34135，P(z2100)0.50.341350.15865，每位员工当月的奖励金额总数为0.477251000.341351500.15865200130.66(元)12(2018西安模拟)每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生(学生很多)的读书情况，随机抽取了男生、女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量(单位：本)进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图男生年阅读量的频数分布表(年阅读量均在区间0,60)内)本/年0,10)10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)频数318422女生年阅读量的频率分布直方图(年阅读量均在区间0,60)内)(1)根据女生年阅读量的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数(2)若年阅读量不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列22列联表，并判断是否有99%的把握认为阅读丰富与性别有关.阅读量性别丰富不丰富合计男女合计(3)在样本中，从年阅读量在50,60)的学生中，随机抽取2人参加全市的征文比赛，记这2人中男生人数为，求的分布列和期望附：K2，其中nabcd.P(K2k0)0.0250.0100.005k05.0246.6357.879解(1)前两组频率之和为0.10.20.3，前三组频率之和为0.10.20.250.55，中位数位于第三组设中位数为a，由题可知，解得a38.该校女生年阅读量的中位数约为38.(2)阅读量性别丰富不丰富合计男41620女91120合计132740K22.8496.635，没有99%的把握认为阅读丰富与性别有关(3)年阅读量在50,60)的学生中，男生2人，女生4人由题意得，的可能取值为0,1,2，P(0)，P(1)，P(2).所以的分布列为012PE()012.
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