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章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1已知双曲线y21(a0)的右焦点与抛物线y28x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是()AyxByxCyxDyx答案D解析y28x的焦点坐标是(2,0)，双曲线y21的半焦距c2，又虚半轴长b1且a0，a，双曲线的渐近线方程是yx.2设P是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|4，则|PF2|等于()A22B21C20D13答案A解析由椭圆的定义知，|PF1|PF2|26，又|PF1|4，|PF2|26422.3已知双曲线x22y21，则它的右焦点坐标为()A.B.C.D(，0)答案C解析将双曲线方程化为标准方程为x21，a21，b2，c2a2b2，c，故右焦点坐标为.4设F1和F2为双曲线1(a0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是等边三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A.B2C.D3答案B解析由tan，有3c24b24(c2a2)，则e2，故选B.5若双曲线1的渐近线与圆(x4)2y2r2(r0)相切，则r的值为()A4B3C2D.答案D解析因为双曲线的渐近线为yx，即xy0，已知圆的圆心为(4,0)，利用直线与圆相切，得到dr，故选D.6若抛物线x22py的焦点与椭圆1的下焦点重合，则p的值为()A4B2C4D2答案D解析椭圆1的下焦点为(0，1)，即为抛物线x22py的焦点，1，p2.7已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e2，且它的一个顶点到较近的焦点的距离为1，则该双曲线的方程为()Ax2y21Bx21Cx21D.y21答案B解析由题意，知2，ca1，c2，a1，b2c2a23，所求双曲线的方程为x21.8过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l有()A1条B2条C3条D4条答案C解析当直线l交双曲线于左右两支时，因为2a2，而|AB|4，故可有2条，若直线l交双曲线于同支，当直线l垂直于x轴时，|AB|4，故只有1条，所以满足条件的直线有3条9已知双曲线1的渐近线方程为yx，则此双曲线的离心率是()A.B.C.D.答案D解析双曲线1的渐近线方程为yx，则，即，a3，半焦距c，e，故选D.10已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.答案D解析由题意可得解得，e.11若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2B3C6D8答案C解析由椭圆方程得F(1,0)，设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x01，y0)xx0y.P为椭圆上一点，1.xx03x03(x02)22.2x02，的最大值在x02时取得，且最大值等于6.12已知拋物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21(a0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于()A.B.C.D.答案A解析拋物线y22px(p0)的准线方程为x，由拋物线的定义可得51，得p8，即y216x，M(1,4)双曲线y21的左顶点为A(，0)，渐近线方程为yx，直线AM的斜率为.由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得，解得a，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|2，则|BF|_.答案2解析设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|x112，x11，直线AF的方程是x1，故|BF|AF|2.14已知双曲线1(a0，b0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为_答案3x2y21解析由题意可得e2，则c2a，设其一焦点为F(c,0)，渐近线方程为bxay0，那么db1，而c24a2a2b2，解得a2，则所求的双曲线方程为3x2y21.15已知直线l：xym0经过抛物线C：y22px(p0)的焦点，l与C交于A，B两点若|AB|6，则p的值为_答案解析因为直线l过抛物线的焦点，所以m，由得x23px0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23p，故|AB|x1x2p4p6，p.16若等轴双曲线C的左顶点A、右顶点B分别为椭圆y21(a0)的左、右焦点，点P是双曲线上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2_.考点直线与圆锥曲线的位置关系问题题点直线与圆锥曲线的综合问题答案1解析依题意，椭圆y21(a0)的左、右焦点分别为A(a,0)，B(a,0)，所以以A，B分别为左、右顶点的等轴双曲线C的方程为x2y2a2.设双曲线上异于A，B的点P的坐标为(x，y)，则直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，所以k1k21.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，离心率e，求椭圆的标准方程解(1)当焦点在x轴上时，设其方程为1(ab0)离心率e，.又a2b2c2，a3b.又椭圆经过点P(3,0)，1，a29，b21.椭圆的标准方程为y21.(2)当焦点在y轴上时，设其方程为1(ab0)同理可得a3b.又椭圆经过点P(3,0)，1，b29，b3，a9.椭圆的标准方程为1.综上，椭圆的标准方程为y21或1.18(12分)已知直线yx4被抛物线y22mx(m0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程解设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)由得x22(4m)x160，所以x1x22(4m)，x1x216，所以弦长为2.由26，解得m1或m9.经检验，m1或m9均符合题意所以所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.19(12分)已知直线l与抛物线y28x交于A，B两点，且线段AB恰好被点P(2,2)平分(1)求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由考点直线与圆锥曲线的位置关系问题题点直线与圆锥曲线的综合问题解(1)由题意可得直线AB的斜率存在，且不为0.设直线AB：x2m(y2)，代入抛物线方程可得y28my16m160.判别式(8m)24(16m16)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1y28m，由8m4，得m，代入判别式大于0成立所以直线l的方程为2xy20.(2)假设C，D两点存在，则可设lCD：yxn，与抛物线y28x联立，消去y得x2(n8)xn20，其中(n8)2n216n640，则n4.(*)又xCxD4(n8)，所以CD的中点为(2(n8)，8)，代入直线l的方程，得n，不满足(*)式所以满足题意的C，D两点不存在20(12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直线yt与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标解(1)因为，且c，所以a，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意知P(0，t)(1tb0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴的一个端点A，短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.(1)求椭圆的离心率；(2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求F1QF2的取值范围解(1)依题意知点F1的坐标为(c,0)，设M点坐标为(c，y)若A点坐标为(a,0)，则B点坐标为(0，b)，则直线AB的斜率k.则有，y.又点M在椭圆1上，1.由得，即椭圆的离心率为.(2)当点Q与椭圆长轴的端点重合时，F1QF20.当点Q与椭圆长轴的端点不重合时，设|QF1|m，|QF2|n，F1QF2，则mn2a，|F1F2|2c.在F1QF2中，cos110.当且仅当mn时，等号成立，0cos1，又(0，)，.综上，F1QF2的取值范围是.22(12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线上(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，点P(2，)，Q(2，)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由解(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，椭圆的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线y2上，b2，又，a2b2c2，a4，c2，椭圆C的标准方程为1.(2)斜率为定值理由如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，直线PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为k，直线PA的方程为yk(x2)，联立消去y，得(14k2)x28k(2k)x4(2k)2160，x12，同理可得x22，x1x2，x1x2，kAB，即直线AB的斜率为定值.
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