资源描述
第六章不 等 式第1课时一元二次不等式及其解法一、 填空题1. 函数f(x)的定义域为_答案：3，1解析：由32xx20，解得3x1.2. 不等式0的解集是 _答案：(，5(1，)解析：由0，得(x5)(x1)0且x10，解得x5或x1.3. 不等式2x2x4的解集为_答案：x|1x2解析：由题意得x2x21x2，解集为x|1x24. 不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_答案：(，4)(4，)解析：不等式x2ax40的解集不是空集，只需a2160， a4或a4.5. 若不等式mx22mx42x24x对任意x都成立，则实数m的取值范围是_答案：(2，2解析：原不等式等价于(m2)x22(m2)x40，当m2时，对任意x不等式都成立；当m20时，4(m2)216(m2)0， 2m0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_答案：(5，0)(5，)解析：由已知得f(0)0，当xx等价于或解得x5或5x0.7. 已知函数f(x)x2mx1.若对于任意xm，m1都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案：解析：二次函数f(x)对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则解得m0.8. 已知f(x)则不等式f(x)f(4)的解集为_答案：x|x4解析：f(4)2，不等式即为f(x)2，当x0时，由2，得0x4；当x0时，由x23x2，得x2，因此x0.综上，f(x)f(4)的解集为x|x49. 在R上定义运算：xyx(1y)，若xR使得(xa)(xa)1成立，则实数a的取值范围是_答案：解析： x使得(xa)(xa)1(xa)(1xa)1，即x使得x2xa2a10成立， 14(a2a1)04a24a30，解得a或a.10. 已知f(x)则不等式f(x2x1)0.解：原不等式等价于(ax2)(x2)0，以下分情况进行讨论：(1) 当a0时，x2.(2) 当a0时，(x2)0，由02知x0时，(x2)0，考虑22的正负： 当0a2，故x； 当a1时，2，故x2； 当a1时，2，故x2.综上所述，当a0时，该不等式的解集为；当a0时，该不等式的解集为x|x2；当0a1时，该不等式的解集为；当a1时，该不等式的解集为.13. 已知不等式mx22xm20.(1) 若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2) 设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x的取值范围解：(1) 对所有实数x，都有不等式mx22xm20恒成立，即函数f(x)mx22xm2的图象全部在x轴下方，当m0时，2x20，显然对任意x不能恒成立；当m0时，由二次函数的图象可知有解得m0知g(m)在2，2上为增函数，则由题意只需g(2)0即可，即2x222x20，解得0x0所表示的平面区域内，则m的取值范围是_答案：(1，)解析：由2m350，得m1.2. 不等式组所表示的平面区域的面积为 _.答案：解析：作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD(xCxB).3. 若实数x，y满足则z3x2y的最大值为_答案：7解析：由约束条件作出可行域，可知当过点(1，2)时z3x2y的最大值为7.4. 已知不等式组所表示的平面区域为D.若直线ykx3与平面区域D有公共点，则k的取值范围是_答案：(，33，)解析：依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示，注意到ykx3过定点(0，3)， 斜率的两个端点值为3，3，两斜率之间存在斜率不存在的情况， k的取值范围为(，33，)5. 若x，y满足约束条件则z3x4y的最小值为_答案：1解析：目标函数即yxz，其中z表示斜率为k的直线系与可行域有交点时直线的截距值的，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点A(1，1)处取得最小值z3x4y1.6. 已知实数x，y满足，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m_答案：5解析：画出可行域便知，当直线xyz0通过直线y2x1与xym的交点时，函数zxy取得最小值， 1，解得m5.7. 若变量x，y满足则x2y2的最大值是_答案：10解析：可行域如图所示，设zx2y2，联立得由图可知，当圆x2y2z过点(3，1)时，z取得最大值，即(x2y2)max32(1)210.8. 若x，y满足约束条件目标函数zax2y仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a的取值范围是_答案：(4，2)解析：可行域为ABC，如图，当a0时，显然成立当a0时，直线ax2yz0的斜率kkAC1，a2.当a0时，kkAB2， a4.综合得4a2.9. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为_万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128答案：18解析：设每天甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得目标函数z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值由得A(2，3)，则zmax324318(万元)10. 设m为实数，若(x，y)|(x，y)|x2y225，则m的取值范围是_答案：0，解析：由题意知，可行域应在圆内，如图，如果m0，则可行域取到x5的点，不在圆内，故m0，即m0.当mxy0绕坐标原点旋转时，直线过B点时为边界位置此时m， m， 0m.二、 解答题11. 某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解：设A型、B型车辆分别为x，y辆，相应营运成本为z元，则z1 600x2 400y.由题意，得x，y满足约束条件作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)由图可知，当直线z1 600x2 400y经过可行域的点P时，直线z1 600x2 400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值，故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小12. 某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，则线性约束条件为目标函数为z7x12y，作出可行域如图，作出一组平行直线7x12yt，当直线经过直线4x5y200和直线3x10y300的交点A(20，24)时，利润最大，即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax7201224428(万元)答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大13. 变量x，y满足(1) 设z，求z的最小值；(2) 设zx2y2，求z的取值范围；(3) 设zx2y26x4y13，求z的取值范围解：由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示由解得A.由解得C(1，1)由解得B(5，2)(1) z， z的值是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(2) zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|，故z的取值范围是2，29(3) zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3，2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3，2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8，故z的取值范围是16，64第3课时基本不等式一、 填空题1. 已知x，则函数y4x的最小值为_答案：7解析：y4x(4x5)5257.当且仅当4x5，即x时取等号2. 设x1，则函数y的最小值为_答案：9解析：因为x1，所以x10.设x1z0，则xz1，所以yz5259，当且仅当z2，即x1时取等号，所以当x1时，函数y有最小值9.3. 若实数a，b满足，则ab的最小值为_答案：2解析：依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时等号成立因为，所以，即ab2，所以ab的最小值为2.4. 已知正实数x，y满足xy2xy4，则xy的最小值为_答案：23解析：由xy2xy4，解得y，则xyx2(x1)323，当且仅当x1，即x1时等号成立所以xy的最小值为23.5. 已知正实数x，y满足(x1)(y1)16，则xy的最小值为_答案：8解析：由题知x1，从而xy(y1)28，当且仅当y1，即y3时取等号所以xy的最小值为8.6. 已知正数x，y满足x2y2，则的最小值为_答案：9解析：(x2y)(2816)(102)189，当且仅当4，x2y2，即y，x时等号成立7. 若x0，y0，则的最小值为_答案：解析：(解法1)设t(t0)，则t2，当且仅当t，即时等号成立. (解法2)设t(t0)，令f(t)，则f(t)，易知当t22时，f(t)min.8. 已知x0，y0，若不等式x3y3kxy(xy)恒成立，则实数k的最大值为_答案：1解析：由题设知k，k1恒成立1211，当且仅当xy时等号成立，从而k1，即k的最大值为1.9. 已知正数x，y满足1，则的最小值为_答案：25解析：由1，得xyxy，13139x4y(9x4y)1313225，当且仅当时等号成立10. 若不等式x22y2cx(yx)对任意满足xy0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为_答案：24解析：由题意可得c，令t，则0t1，故c；令u1t，则0u1，故c42u，得42u的最小值为24，故实数c的最大值为24.二、 解答题11. 设x0, y0，x21，求x的最大值解： x0, y0, x21， x.当且仅当x2，即x，y时， x取得最大值.12. 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)(1) 求S关于x的函数解析式；(2) 求S的最大值解：(1) 由题设，得S(x8)2x916，x(8，450)(2) 因为8x0，xN)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3(a0)万元(1) 在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求x的取值范围；(2) 在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工的农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求实数a的最大值解：(1) 由题意得3(100x)(12x%)3100，即x250x0，解得0x50.因为x0，所以00，所以a1恒成立，而15(当且仅当x50时取等号)，所以a的最大值为5.第4课时不等式的综合应用一、 填空题1. 已知log2xlog2y1，则xy的最小值为_答案：2解析：由log2xlog2y1得x0，y0，xy2，xy22.2. 若2x2y1，则xy的取值范围是_答案：(，2解析： 2x2y2，且2x2y1， 2xy， xy2.3. 设实数x，y满足x22xy10，则x2y2的最小值是_答案：解析：由x22xy10，得y.故x2y2x2.4. 已知实数x，y满足则z的取值范围是_答案：解析：作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，z的几何意义为区域内的点与点P(1，0)的连线的斜率k，由图象，得1k.5. 在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_答案：4解析：P，Q两点关于原点O对称，设P(m，n)为第一象限内的点，则m0，n0，n，所以PQ24OP24(m2n2)416，当且仅当m2，即m时取等号故线段PQ长的最小值是4.6. 若实数a，b满足ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值为_答案：27解析： ab4ab10， b，ab4ab1. (a1)(b2)ab2ab26a2b16a216a16a816(a1)15. a1， a10. 原式6(a1)1521527.当且仅当(a1)21，即a2时等号成立 (a1)(b2)的最小值为27.7. 已知x，y为正实数，则的最大值为_答案：解析：设m4xy0，nxy0，则x，y，.8. 若二次函数f(x)ax2bxc(ab)的值域为0，)，则的最大值是_答案：解析：由题意可得b24ac0，且ba0，则.令y，则y，令t，则t1，则y，再令t1u，则y，当u0时，y，当且仅当u3时等号成立，即的最大值是.9. 已知函数f(x)|x|x2|，则不等式f(x26)f(5x)的解集是_答案：(，4)(1，2)(3，)解析：因为当x2时，f(x)单调递增，当xf(5x)等价于2(x26)5x3或x4或1x2时，f(x)log2x1，故函数f(x)的最小值为1，所以5m4m21，解得m1.二、 解答题11. 已知二次函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)满足：对任意实数x，都有f(x)x，且当x(1，3)时，有f(x)(x2)2成立(1) 求证：f(2)2；(2) 若f(2)0，求f(x)的解析式(1) 证明：由条件知f(2)4a2bc2恒成立，又取x2时，f(2)4a2bc(22)22恒成立， f(2)2.(2) 解： 4ac2b1， b，c14a.又f(x)x恒成立，即ax2(b1)xc0恒成立 a0，4a(14a)0，解得a，b，c， f(x)x2x.12. 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w4，且投入的肥料费用不超过5百元此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)(1) 求利润L(x)的函数解析式，并写出定义域(2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1) L(x)16x2x643x(0x5)(2) L(x)643x6767243.当且仅当3(x1)，即x3时取等号故L(x)max43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300元13. 如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪(1) 当EFP时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2) 若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由解：(1) 当EFP时，由条件得EFPEFDFEP.所以FPE.所以FNBC，四边形MNPE为矩形所以四边形MNPE的面积SPNMN2 m2.(2) (解法1)设EFD，由条件，知EFPEFDFEP.所以PF，NPNFPF3，ME3.由得所以四边形MNPE的面积S(NPME)MN26666262.当且仅当tan ，即tan ，时取等号此时，(*)式成立故当EFD时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(62)m2.(解法2)设BEt m，3t6，则ME6t.因为EFPEFDFEP，所以PEPF，即tBP.所以BP，NP3PF3PE3(tBP)3t.由得(*)所以四边形MNPE的面积S(NPME)MN3t(6t)26(t3)62.当且仅当(t3)，即t3时取等号此时，(*)式成立故当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(62)m2.
展开阅读全文