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课时跟踪检测（九） 双曲线及其标准方程层级一学业水平达标1已知F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C直线 D一条射线解析：选DF1，F2是定点，且|F1F2|10，所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线2椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是()A. B1或2C1或 D1解析：选D依题意知解得a1.3焦点分别为(2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()Ax21 B.y21Cy21 D.1解析：选A由双曲线定义知，2a532，a1.又c2，b2c2a2413，因此所求双曲线的标准方程为x21.4“0k3”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A0k3，方程1表示双曲线；反之，方程1表示双曲线，(k1)(k5)0，解得1k5.故“0k0，b0)，则c，即a2b25. 设P(x，y)，由线段PF1的中点坐标为(0,2)，可知得即点P的坐标为(，4)，代入双曲线方程，得1. 联立，得a21，b24，即双曲线的标准方程为x21.故选B.6设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_.解析：由点F(0,5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16.答案：167设点P在双曲线1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|PF2|13，则F1PF2的周长等于_解析：由题意知|F1F2|210，|PF2|PF1|6，又|PF1|PF2|13，|PF1|3，|PF2|9，F1PF2的周长为391022.答案：228已知定点A，B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为_解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为ac2.答案：9求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题设知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(，4)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1.10已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|MF2|6，试判断MF1F2的形状解：(1)椭圆的方程可化为1，焦点在x轴上，且c.故可设双曲线方程为1(a0，b0)依题意得解得a23，b22.故双曲线的标准方程为1.(2)不妨设M在双曲线的右支上，则有|MF1|MF2|2.又|MF1|MF2|6，解得|MF1|4，|MF2|2.又|F1F2|2c2，因此在MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cosMF2F10.所以MF2F1为钝角，故MF1F2是钝角三角形层级二应试能力达标1已知F1(5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为()A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线解析：选C依题意，得|F1F2|10.当a3时，|PF1|PF2|2a6|F1F2|，可知点P的轨迹为双曲线的右支；当a5时，|PF1|PF2|2a10|F1F2|，可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线故选C.2已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：选B因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则1，所以y，即|AF1|.又|AF2|AF1|2a24，所以|AF2|24.即所求距离分别为，.答案：，7已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin Bsin Asin C.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程解：(1)将椭圆方程化为标准形式为y21.a25，b21，c2a2b24，则A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|21)8设圆C与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切(1)求C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点求|MP|FP|的最大值解：(1)两圆的圆心分别为A(，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r.由题意得|CA|r2，|CB|r2或|CA|r2，|CB|r2，两式相减得|CA|CB|4或|CA|CB|4，即|CA|CB|4.则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a4，c，b21，圆C的圆心轨迹L的方程为y21.(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|PF|MF|为|PM|FP|的最大值又|MF|2，|MP|FP|的最大值为2.
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