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第2课时基本不等式的应用课后篇巩固探究A组1.函数f(x)=x+-1的值域是()A.(-,-35,+)B.3,+)C.(-,-53,+)D.(-,-44,+)解析当x0时,x+-12x4x-1=3,当且仅当x=2时,取等号;当x2)在x=a处取最小值,则a=()A.1+2B.1+3C.3D.4解析f(x)=x+1x-2=x-2+1x-2+2.x2,x-20.f(x)=x-2+1x-2+22(x-2)1x-2+2=4,当且仅当x-2=1x-2,即x=3时,等号成立.又f(x)在x=a处取最小值,a=3.答案C3.周长为4+22的直角三角形的面积的最大值是()A.2B.1C.4D.2解析设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为a2+b2,于是依题意有a+b+a2+b2=4+22.由基本不等式知a+b+a2+b2=4+222ab+2ab,即ab2,所以ab4,当且仅当a=b=2时,取等号.故三角形的面积S=ab2.答案A4.若x,y0,且xy-(x+y)=1,则有()A.x+y2(2+1)B.xy2+1C.x+y(2+1)2D.xy2(2+1)解析由xy-(x+y)=1,得xy=1+(x+y)x+y22,即(x+y)2-4(x+y)-40.因为x0,y0,所以解得x+y2+22=2(2+1),当且仅当x=y时,取等号.答案A5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,在下面四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m解析设两条直角边长分别为a m,b m,直角三角形框架的周长为l m,则斜边长为a2+b2 m, ab=2,即ab=4.所以l=a+b+a2+b22ab+2ab=4+226.828,当且仅当a=b=2时,取等号.由于要求够用且浪费最少,故选C.答案C6.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为.解析由基本不等式可得x+4y24xy=4xy,于是4xy4,xy1,当且仅当x=4y时,取等号.故xy的最大值为1.答案17.要建造一个容积为18 m3,深为2 m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,那么水池的最低造价为元.解析设水池底的长为x m,宽为y m,则有2xy=18,即xy=9.这时水池的造价p=200xy+1502(2x+2y),即p=1 800+600(x+y),于是p1 800+6002xy=1 800+60029=5 400,当且仅当x=y=3时,等号成立.故水池的最低造价为5 400元.答案5 4008.已知不等式x+ykx+y对所有正数x,y都成立,则k的最小值是.解析因为x0,y0,所以x+y2xy2(x+y)(x+y)22(x+y)x+y,即x+yx+y2,要使x+ykx+y对所有正数x,y都成立,即kx+yx+ymax,故k2,即k的最小值为2.答案29.求函数y=2x2+7x-1x2+3x(x1)的最大值.解函数y=2x2+7x-1x2+3x=2x2+6x+x-1x2+3x=2+x-1x(x+3).令x-1=t(t0),则x=1+t.所以y=2+t(t+1)(t+4)=2+1t+4t+52+15+2t4t=2+19=199,当且仅当t=2,即x=3时,函数取得最大值199.10.导学号04994089为了夏季降温和减少能源消耗,某体育馆外墙需要建造可使用30年的隔热层,每厘米厚的隔热层的建造成本为2万元,设每年的能源消耗费用为C(单位:万元),隔热层的厚度为x(单位:cm),二者满足函数关系式:C(x)=kx+5(0x15,k为常数).已知隔热层的厚度为10 cm时,每年的能源消耗费用是1万元.设f(x)为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求出最小值.解(1)当x=10时,C(x)=1,k=15,即C(x)=15x+5,f(x)=3015x+5+2x=450x+5+2x(0x15).(2)f(x)=450x+5+2x=450x+5+2(x+5)-102450x+52(x+5)-10=50,当且仅当450x+5=2(x+5),即x=10时,取等号.故当隔热层修建10 cm厚时,总费用达到最小值50万元.B组1.若a1,则a+1a-1的最大值是()A.3B.aC.-1D.2aa-1解析因为a1,所以a-10,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()A.3B.4C.D.112解析由于x0,y0,所以2xy=x2yx+2y22,当且仅当x=2y=2时,取等号.因为2xy=8-(x+2y),于是有8-(x+2y)x+2y22.令x+2y=t,则t2+4t-320,解得t4或t-8(舍去),因此x+2y4,即x+2y的最小值是4,故选B.答案B3.已知函数y=loga(x+3)-1(a0,且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中m0,n0,则2m+1n的最小值为()A.22B.4C.52D.解析当x=-2时,y=loga1-1=-1,函数y=loga(x+3)-1(a0,且a1)的图象恒过定点A(-2,-1).点A在直线mx+ny+2=0上,-2m-n+2=0,即2m+n=2.m0,n0,2m+1n=12(2m+n)2m+1n=125+2nm+2mn92(当且仅当2nm=2mn时,等号成立).答案D4.如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2.解析设阴影部分的长为x dm,则宽为72x dm,四周空白部分的面积是y dm2.由题意,得y=(x+4)72x+2-72=8+2x+144x8+22x144x=56.当且仅当x=144x,即x=12时,等号成立.答案565.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是.解析2x+2y=122x+y,1222x+y,即2x+y2-2.x+y-2,当且仅当x=y=-1时,取等号.故x+y的取值范围是(-,-2.答案(-,-26.若x1时,不等式x2+3x-1m2+1恒成立,则实数m的取值范围是.解析由于x2+3x-1=(x-1)2+2(x-1)+4x-1=(x-1)+4x-1+224+2=6,当且仅当x=3时,取等号.所以要使不等式恒成立,应有m2+16,解得-5m5.答案-5m0,y0,3xy=x+y+1.(1)因为x0,y0,所以3xy=x+y+12xy+1,所以3xy-2xy-10,即3(xy)2-2xy-10.所以(3xy+1)(xy-1)0.所以xy1,所以xy1.当且仅当x=y=1时,等号成立.所以xy的最小值为1.(2)因为x0,y0,所以x+y+1=3xy3x+y22,所以3(x+y)2-4(x+y)-40,所以3(x+y)+2(x+y)-20.所以x+y2.当且仅当x=y=1时,取等号.所以x+y的最小值为2.
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