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3.2古典概型内容要求1.了解基本事件的特点(难点)；2.理解古典概型的定义(重点)；3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题(重点).知识点一基本事件1.基本事件的定义在1次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.它们是试验中不能再分的最简单的随机事件.一次试验中只能出现一个基本事件.如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个结果，这就是这一随机试验的6个基本事件.2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，随机事件“出现奇数点”可以由基本事件“出现1点”“出现3点”“出现5点”共同组成.【预习评价】“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗？提示不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是基本事件.知识点二古典概型1.古典概型的定义如果一个随机试验满足：(1)所有的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件的发生都是等可能的，那么，我们将这个随机试验的概率模型称为古典概型.2.古典概型的概率公式对于任何事件A，P(A).【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)1.任意事件都可以表示成基本事件的和.()2.古典概型的基本事件的个数是有限的.()3.有放回抽样与无放回抽样，对于概率计算是没有区别的.()答案1.2.3.题型一基本事件的理解【例1】写出下列试验的所有基本事件.(1)先后掷两枚质地均匀的硬币；(2)某人射击一次命中的环数；(3)从集合Aa，b，c，d中任取两个元素构成A的子集.解(1)正面、正面；正面、反面；反面、正面；反面、反面.(2)0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环.(3)a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d.规律方法1.求基本事件的基本方法是列举法.基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生.2.当基本事件个数较多时还可应用列表法或树形图法求解.【训练1】从A，B，C，D，E，F 6名学生中选出4名参加数学竞赛.(1)写出这个试验的所有基本事件；(2)求这个试验的基本事件总数；(3)写出试验“A没被选中”所包含的基本事件.解(1)这个试验的所有基本事件如下：(A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F)，(A，C，D，E)，(A，C，D，F)，(A，B，D，E)，(A，B，D，F)，(A，B，E，F)，(A，C，E，F)，(A，D，E，F)，(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F).(2)从6名学生中选出4名参加数学竞赛，共有15种可能情况，即基本事件的总数为15.(3)“A没被选中”包含下列5个基本事件：(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F).题型二古典概型的理解【例2】(1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆面内任意一点都是等可能的，你认为该试验是古典概型吗？为什么？(2)射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和命中0环(即不命中).你认为该试验是古典概型吗？为什么？解判断试验是否满足古典概型的两个特点.(1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点.试验的所有可能结果数是无限的，不满足古典概型试验结果的有限性.因此，虽然每一个试验结果出现的可能性相同，但是这个试验仍不是古典概型.(2)试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环，命中1环和命中0环(即不命中)不是等可能的.因此，这个试验也不是古典概型.规律方法一个试验是否是古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型.【训练2】判断下列事件是否为古典概型.(1)在适宜的条件下种下一粒种子，求它发芽的概率；(2)向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面朝上的概率.解(1)基本事件包括“发芽”“不发芽”，而“发芽”与“不发芽”这两种结果的可能性一般是不均等的，不符合古典概型的第二个特点，即每一个基本事件的“等可能性”，所以这个试验不是古典概型.(2)由于硬币的质地不均匀，则出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性不相等，不符合古典概型的第二个特点，即每一个基本事件的“等可能性”，所以这个试验不是古典概型.探究1列举法(或列表法)【例31】一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.(1)共有多少个基本事件？(2)2个都是白球包含几个基本事件？(3)求2个都是白球的概率.解法一(1)采用列举法.分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号).(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个基本事件.(3)所求概率为P(A).法二(1)采用列表法.设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球.列表如下：abcdea(a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b(b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c(c，a)(c，b)(c，d)(c，e)d(d，a)(d，b)(d，c)(d，e)e(e，a)(e，b)(e，c)(e，d)由于每次取2个球，因此每次所得的2个球不相同，而事件(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件.(2)“2个都是白球”包含(a，b)，(b，c)，(c，a)三个基本事件.(3)所求概率为P(A).探究2坐标法【例32】抛掷两枚骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率.解如图，基本事件与所描点一一对应，共36种.(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个，即(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6).所以P(A).(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3).所以P(B).探究3树形图法【例33】有A、B、C、D四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时，(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.解将A、B、C、D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如图所示，本题中的等可能基本事件共有24个.(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A).(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B).(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C).探究4涂色问题【例34】用三种不同的颜色给如图所示的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色.(1)求3个矩形颜色都相同的概率；(2)求3个矩形颜色都不相同的概率；(3)求3个矩形颜色不都相同的概率.解设3个矩形从左到右依次为矩形1、矩形2、矩形3.用三种不同的颜色给题目中所示的3个矩形随机涂色，可能的结果如图所示.由图知基本事件共有27个.(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知事件A的基本事件有3个，故P(A).(2)记“3个矩形颜色都不相同”为事件B，由图知事件B的基本事件有6个，故P(B).(3)记“3个矩形颜色不都相同”为事件C.由图，知事件C的基本事件有24个，故P(C).规律方法1.古典概型概率求法步骤：(1)确定等可能基本事件总数n；(2)确定所求事件包含基本事件数m；(3)P(A).2.使用古典概型概率公式应注意：(1)首先确定是否为古典概型；(2)A事件是什么，包含的基本事件有哪些.3.当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树形图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法.树形图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.4.在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出基本事件的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便.课堂达标1.从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3中随机选取一个数为b.则ba的概率是_.解析基本事件总数为15个，满足“ba”的基本事件数为3个，所以P(ba).答案2.从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等)，则2名都是女同学的概率等于_.解析设3名男生分别用A，B，C表示，3名女生分别用a，b，c表示，则从中任选2名学生，则有AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种选择.其中2名都是女同学的有ab，ac，bc，共3种，所以2名都是女同学的概率为.答案3.现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_.解析从正整数m，n(m7，n9)中任取两数的所有可能结果有X1Y1，X1Y2，X1Y3，X7Y9，共63个.其中m，n都取奇数的结果有X1Y1，X1Y3，X1Y5，X7Y9，共20个，故所求的概率为P.答案4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为_.解析从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5这一组数，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为.答案5.先后抛掷3枚相同的硬币各一次，观察落地后这3枚硬币朝上的一面是正面还是反面.(1)一共可能出现多少种不同的结果？(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有多少种？(3)出现“2枚正面，1枚反面”的概率是多少？解(1)因为抛第1枚硬币时，出现正面和反面2种结果，抛第2枚硬币时，又出现正面和反面2种结果，抛第3枚硬币时，又出现正面和反面2种结果，所以可能出现的结果为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，其8种.(2)由(1)可知出现“2枚正面，1枚反面”的结果有(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3种.(3)因为每种结果出现的可能性均相等，所以为古典概型.由(1)(2)可知等可能基本事件的总数为8，而出现“2枚正面，1枚反面”的基本事件有3个，故出现“2枚正面，1枚反面”的概率为.课堂小结1.古典概型是一种最基本的概率模型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m、n.2.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树形图和列表)，注意做到不重不漏.基础过关1.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_.解析从1,2,3,6中随机取2个数，共有6种不同的取法，其中所取2个数的乘积是6的有1,6和2,3，共2种，故所求概率是.答案2.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_.解析从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色相同有1种结果，则颜色不同有5种结果，故所求概率为.答案3.在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是_.解析设3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为a，b，c，甲、乙两人各抽取1张的所有情况有ab，ac，ba，bc，ca，cb，共6种，其中两人都中奖的情况有ab，ba，共2种，所以所求概率为.答案4.从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为_.解析从a，b，c，d，e中任取两个不同字母的所有基本事件为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个，其中取到字母a的有4个，故所求概率为0.4.答案0.45.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为_.解析5个点中任取2个点共有10种方法，若2个点之间的距离小于边长，则这2个点中必须有1个为中心点，有4种方法，于是所求概率P.答案6.用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：直径个数直径个数6.88d6.8916.93d6.94266.89d6.9026.94d6.95156.90d6.91106.95d6.9686.91d6.92176.96d6.9726.92d6.93176.97d6.982从这100个螺母中任意抽取一个，求：(1)事件A(6.92d6.94)的概率；(2)事件B(6.906.96)的概率；(4)事件D(d6.89)的概率.解(1)事件A的概率P(A)0.43.(2)事件B的概率P(B)0.93.(3)事件C的概率P(C)0.04.(4)事件D的概率P(D)0.01.7.从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)事件A三个数字中不含1和5 ；(2)事件B三个数字中含1或5.解这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n10.(1)因为事件A(2,3,4)，所以事件A包含的事件数m1.所以P(A).(2)因为事件B(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以事件B包含的基本事件数m9.所以P(B).能力提升8.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出2个黑球的概率为_.解析运用集合中的Venn图直观分析.如图所示，所有结果组成集合U，含有6个元素，故共有6种不同的结果.U的子集A有3个元素，故摸出2个黑球有3种不同的结果.因此，摸出2个黑球的概率是P.答案9.一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2(mn)x40有实数根的概率是_.解析基本事件共有36个.因为方程有实根，所以(mn)2160，所以mn4，则方程如无实数根有mn4，其中有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件.所以所求概率为1.答案10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为_.解析首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|ab|1，由于a，b1,2,3,4,5,6，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得基本事件的总数有36种.因此他们“心有灵犀”的概率为P.答案11.甲、乙、丙三人玩传球游戏，开始由甲发球，传球三次后球又回到甲手中的概率是_.解析画出“树形图”如图所示，由图知，基本事件共有8个，其中球又回到甲手中的有2个，所求概率为P.答案12.某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.解(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A，Y，A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共6种.因此，事件M发生的概率P(M).13.(选做题)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.解(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其所有结果组成的基本事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共15个.根据题意，这些基本事件的出现机会是等可能的.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个.因此A1被选中且B1未被选中的概率为P.
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