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第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理. 了解向量的线性运算性质及其几何意义掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件1. (必修4P62习题5改编)下列命题： 零向量的长度为零，方向是任意的； 若a，b都是单位向量，则ab； 向量与相等则所有正确的命题是_(填序号)答案：解析：根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误2. 在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状是_答案：平行四边形解析：依题意知AC是以AB，AD为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD是平行四边形3. 在ABC中，c，b，若点D满足2，则_答案：bc解析：如图，因为在ABC中，c，b，且点D满足2，所以()bc.4. 设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_答案：解析：因为向量ab与a2b平行，设abk(a2b)，则所以.5. (必修4P73习题15改编)已知向量i与j不共线，且imj，nij.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是_(填序号) mn1； mn1； mn1； mn1.答案：解析：由A，B，D共线可设，于是有imj(nij)nij.又i，j不共线，因此即有mn1.1. 向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作|.(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的(3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：0与任一向量平行(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(6) 相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量规定零向量的相反向量仍是零向量2. 向量加法与减法运算(1) 向量的加法 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 法则：三角形法则；平行四边形法则 运算律：abba；(ab)ca(bc)(2) 向量的减法 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 法则：三角形法则3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： |a|a|； 当0时，a与a的方向相同；当ba，若向量m(ab，1)和n(bc，1)平行，且sin B，则当ABC的面积为时，b_答案：2解析：由向量m和n平行知ac2b，由acsin Bac，由cba知B为锐角，则cos B，即，由可得b2.4. 在ABC中，AB2，AC3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O.若xy(x，yR)，则xy的值为_答案：解析： AO为ABC的角平分线， 存在实数(0)使，即， 设AB边上的中线与AB交于点D，则2xy. C，O，D三点共线， 2xy1.由得x，y， xy.1. 已知向量a，b(x，1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，则x的值为_答案：4 解析：a2b，2ab(16x，x1)，由已知(a2b)(2ab)，显然2ab0，则有(16x，x1)，R， x4(x4舍去)2. (2017南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点若(，R)，则_答案：解析：由题意可得，由平面向量基本定理可得，所以.3. 在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为_答案：解析： M为边BC上任意一点， 可设xy(xy1) N为AM的中点， xy. (xy).4. 如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，动点P在边BC上，且满足mn(m，n均为正实数)，则的最小值为_答案：解析：(解法1)设a，b，则ab；设，则ab.因为manb，所以有 1m，n，消去得mn1，12.(解法2)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)，设(3，4)，则(43，4)因为mn(4m，4n), 所以有 434m，44n，消去得mn1(下同解法1)1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是惟一的2. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标3. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值备课札记第3课时平面向量的数量积及平面向量的 应用举例(对应学生用书(文)、(理)7779页) 理解平面向量数量积的含义. 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直 平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题1. (必修4P90习题19(2)改编)已知向量a(1，2)，b(x，2)，且a(ab)，则实数x_答案：9解析：由a(ab)知，a2ab，即5x4，则x9.2. 已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_答案：解析：设a与b夹角为，由已知，ab2，|a|b|2，cos .因为0，所以.3. (2017苏北四市调研)已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|2，|b|3，则|2a3b|_答案：解析：由题意可得ab|a|b|cos 3，所以|2a3b|.4. (必修4P89习题第8(1)题改编)已知两个单位向量e1，e2的夹角为.若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_答案：6解析：b1e12e2，b23e14e2，则b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e.因为e1，e2为单位向量，e1，e2，所以b1b23283186.5. (必修4P90习题21改编)已知D是ABC所在平面内一点，且满足()()0，则ABC的形状是_答案：等腰三角形解析： ()()()0，所以，所以acos Bbcos A，利用余弦定理化简得a2b2，即ab，所以ABC是等腰三角形1. 向量数量积的定义(1) 向量a与b的夹角(2) 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos_叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，并规定零向量与任一向量的数量积为0.2. 向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，则(1) eaae.(2) ab ab0(3) 当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；特殊的，aa|a|2或|a|.(4) cos .(5) |ab|a|b|.3. 向量数量积的运算律(1) 交换律：abba.(2) 分配律：(ab)cacbc.(3) 数乘结合律：(a)b(ab)a(b)4. 平面向量数量积的坐标表示(1) 若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.故abx1x2y1y20.(2) 设a(x，y)，则|a|(3) 若向量a(x1，y1)与向量b(x2，y2)的夹角为，则有cos .备课札记,1平面向量数量积的运算),1)(1) (2017第三次全国大联考江苏卷)在四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，若|AC|4，12，2，则_(2) 已知边长为6的正三角形ABC，AD与BE交于点P，则的值为_答案：(1) 0(2) 解析：(1) 因为222412，216，24，所以22440.(2) 以D点为坐标原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，则B(3，0)，C(3，0)，A(0，3)，E(1，2)，P，则的值为.变式训练(2017南通、扬州、泰州调研)如图，已知ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若|3，|5，则()()的值为_答案：16解析：由，0，则()()(2)2()() 2 2325216.,2平面向量的平行与垂直问题),2)(2017镇江一模)已知向量m(cos ，1)，n(2，sin )，其中，且mn.(1) 求cos 2的值；(2) 若sin()，且，求角的值解：(解法一)(1) 由mn得，2cos sin 0，sin 2cos ，代入cos2sin21，得5cos21，且，则cos ，sin ，则cos 22cos2121.(2) 由，得，.因为sin()，则cos().则sin sin()sin cos()cos sin().因为，则.(解法2)(1) 由mn得，2cos sin 0，tan 2，故cos 2cos2sin2.且cos2sin21，则sin ，cos ，则cos 22cos2121.(2) 由，得，.因为sin()，则cos().则sin sin()sin cos()cos sin().因为，则.变式训练平面直角坐标系xOy中，已知向量(6，1)，(x，y)，(2，3)，且.(1) 求x与y之间的关系式；(2) 若，求四边形ABCD的面积解：(1) 由题意得(x4，y2)，(x，y)因为，所以(x4)y(y2)x0，即x2y0.(2) 由题意(x6，y1)，(x2，y3)因为，所以(x6)(x2)(y1)(y3)0，即x2y24x2y150，联立解得或当时，(8，0)，(0，4)，S四边形ABCDACBD16；当时，(0，4)，(8，0)，S四边形ABCDACBD16.所以四边形ABCD的面积为16.,3平面向量的模与夹角问题),3)(1) 已知平面向量，满足|1，且与的夹角为120，则的模的取值范围是_；(2) (2017盐城模拟)已知|，且1.若点C满足|1，则|的取值范围是_答案：(1) (0，(2) 1，1解析：(1) 设ABC中，a|1，A60，|c，由正弦定理得，则c，即csin C又0sin C1，即c的取值范围是(0，则的模的取值范围是(0，(2) 1， AOB.建系可设A(，0)，B(，)，C(x，y)， (x，y)， (x)2(y)21， C的轨迹是以点M(，)为圆心，1为半径的圆， OM， |1，1变式训练(1) 已知向量a，b满足a(4，3)，|b|1，|ab|，则向量a，b的夹角为_(2) (2017江阴检测)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3| 的最小值为_答案：(1) (2) 5解析：(1) |b|1，|a|5，对|ab|两边平方，得2ab5，2|a|b|cos 5，cos ，则向量a，b的夹角为.(2) (解法1)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系设DCa，DPx， D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)， 3(5，3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值为5.(解法2)设x(0x1)， (1x)，x，(1x)， 3(34x)，|3|2 22(34x)(34x)2 225(34x)2 225， |3|的最小值为5.,4平面向量与三角函数的综合问题)典型示例,4)已知m(cos ，sin )，n(，1)，(0，)(1) 若mn，求角的值；(2) 求|mn|的最小值【思维导图】【规范解答】 解：(1) 因为m(cos ，sin )，n(，1)，且mn，所以cos sin 0，即tan .又(0，)，所以.(2) 因为mn(cos ，sin 1)，所以|mn|.因为(0，)，所以，故当时，|mn|取到最小值1.总结归纳解决向量与三角函数综合问题的关键是根据向量间的条件，利用数量积的性质，将问题转化为三角函数的条件求解，然后利用三角恒等变换或三角函数的图象和性质解决问题题组练透1. 已知m(cos ，sin )，n(2，1)，若mn1，则sin(2)_答案：解析：由mn2cos sin 1，cos2sin21，且，得cos ，则sincos 212cos2.2. 若向量a(cos ，sin )，b(，1)，则|2ab|的最大值为_答案：4解析：因为向量a(cos ，sin )，b(，1)，所以|a|1，|b|2，abcos sin ，所以|2ab|24a2b24ab84(cos sin )88cos ，所以|2ab|2的最大值为16，因此|2ab|的最大值为4.3. 在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1) 求sin A的值；(2) 若a4，b5，ADBC于D，求的值解：(1) 由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0A，所以sin A.(2) 由正弦定理，得，则sin B.因为0B0，所以m.3. 已知zabi(a，bR，i是虚数单位)，z1，z2C，定义：D(z)|z|a|b|，D(z1，z2)|z1z2|.给出下列命题： 对任意zC，都有D(z)0； 若z是复数z的共轭复数，则D(z)D(z)恒成立； 若D(z1)D(z2)(z1，z2C)，则z1z2.其中，真命题是_(填序号)答案：解析：若z0，则D(z)0，所以错误；因为D(z)D(abi)|a|b|a|b|D(z)，所以正确；设z11i，z21i，则有D(z1)D(z2)，但z1z2，所以错误4. 若复数za2i(i为虚数单位，aR)满足|z|3，则a的值为_答案：解析：|z|3，则a.5. 已知集合A1，2z2，zi，B2，4，i为虚数单位若AB2，则纯虚数z为_答案：2i解析： A1，2z2，zi，B2，4，且AB2 2z22或zi2
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