2018年秋高中数学 第一章 解三角形 阶段复习课 第1课 解三角形学案 新人教A版必修5.doc

第一课解三角形核心速填1正弦定理(1)公式表达：2R.(2)公式变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C；2R.2余弦定理(1)公式表达：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C.(2)推论：cos A，cos B，cos C.3三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)体系构建题型探究利用正、余弦定理解三角形在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小. 【导学号：91432090】解(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以，B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S，得absin C，故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因为sin B0，所以sin Ccos B，又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.规律方法解三角形的一般方法：,(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由ABC求C，由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.跟踪训练1如图11，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，CD2，cosADC.图11(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长解(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC.所以sinBADsin(ADCB)sinADC cos BcosADC sin B.(2)在ABD中，由正弦定理，得BD3.在ABC中，由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos B825228549.所以AC7.判断三角形的形状在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状解法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，得2sin Bsin Asin C.B60，AC120.2sin 60sin(120C)sin C.展开整理得sin Ccos C1.sin(C30)1.0C8，应舍去，所以x433.9，即这条公路的长约为3.9 km.(2)在ABD中，由正弦定理得，所以sinABDsinCBDsinADB0.8，所以cosCBD0.6.在CBD中，sinDCBsin(CBDBDC)sin(CBD75)0.80.260.60.970.79，由正弦定理得CDsinDBC3.9.故景点C与景点D之间的距离约为3.9 km.规律方法正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.跟踪训练3如图13，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.图13(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km). 【导学号：91432092】解(1)由题意得PAPB1.5812(km)，PCPB1.52030(km)PBx12，PC18x.在PAB中，AB20 km，cosPAB.同理cosPAC.cosPABcosPAC，解得x.(2)作PDa于D，在RtPDA中，PDPAcosAPDPAcosPABx17.71(km)所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.与三角形有关的综合问题探究问题1如图14所示，向量与的夹角是B吗？在ABC中，两向量的数量积与余弦定理有怎样的联系？图14提示：向量与的夹角是B的补角，大小为180B，由于|cos Abccos A.所以bccos A(b2c2a2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题2在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？提示：用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值. 【导学号：91432093】思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解(2)由(1)结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解解(1)由2得cacos B2.又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292613.解得或因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理，得sin Csin B.因为abc，所以C为锐角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.母题探究：1.(变条件，变结论)将本例中的条件“ac，2，cos B，b3”变为“已知SABC30且cos A”求的值解在ABC中，cos A，A为锐角且sin A，SABCbcsin Abc30.bc156.|cos Abccos A156144.2(变条件，变结论)在“母题探究1”中再加上条件“cb1”能否求a的值？解由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)1215625，a5.规律方法正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.