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标准仿真模拟练（二）(120分钟150分)第卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.设集合S=x|x-2,T=x|x2+3x-40,则(RS)T=()A.(-2,1B.(-,-4C.(-,1D.1,+)【解析】选C.因为S=x|x-2,所以RS=x|x-2,而T=x|x2+3x-40=x|-4x1,所以(RS)T=x|x1.2.设复数z满足1+2iz=i,则z=()A.-2+iB.-2-iC.2+iD.2-i【解析】选C.设z=a+bi(a,bR),由题意知,1+2iz=i,所以1+2i=ai-b,则a=2,b=-1,所以z=2-i,z=2+i.3.若tan+4=-3,则cos2+2sin 2=()A.95B.1C.-35D.-75【解析】选A.tan(+4)=1+tan1-tan=-3,解得tan =2,cos2+2sin 2=cos2+4sincossin2+cos2=1+4tantan2+1=95.4.在等比数列an中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为()A.1B.-12C.1或-12D.-1或12【解析】选C.根据已知条件得a1q2=7,a1+a1q+a1q2=21,所以1+q+q2q2=3,即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12.5.方程x+lg x=3的解x0()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+)【解析】选C.若x(0,1),则lg x0,则x+lg x1;若x(1,2),则0lg x1,则1x+lg x3;若x(2,3),则0lg x1,则2x+lg x3,lg x0,则x+lg x3. 6.函数f(x)=9x-a3x的图象关于原点对称,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b=()A.1B.-1C.-12D.12【解析】选D.函数f(x)关于原点对称,且当x=0时,f(x)有意义.所以f(0)=0,得a=1.又g(x)为偶函数,所以g(-1)=g(1),得b=-12.所以a+b=12.7.分别在区间1,6和1,4内任取一个实数,依次记为m和n,则mn的概率为()A.710B.310C.35D.25【解析】选A.如图,则在区间1,6和1,4内任取一个实数,依次记为m和n,则(m,n)表示的图形面积为35=15,其中满足mn,即在直线m=n右侧的点表示的图形面积为:12(2+5)3=212,故mn的概率P=21215=710.8.定义d(a,b)=|a-b|为两个向量a,b间的“距离”.若向量a,b满足:|b|=1;ab;对任意的tR,恒有d(a,tb)d(a,b).则()A.abB.a(a-b)C.b(a-b)D.(a+b)(a-b)【解析】选C.如图所示,因为|b|=1,所以b的终点在单位圆上.设点B在单位圆上.点A不在单位圆上,则可用OB表示b,用OA表示a,用BA表示a-b.设OC=tb,所以d(a,tb)=|CA|, d(a,b)=|BA|,因为对任意tR,d(a,tb)d(a,b),所以|CA|BA|恒成立,所以BAOB,即b(a-b).9.已知x,y满足x+y-10,x-2y-40,2x-y-20,如果目标函数z=y+1x-m的取值范围为0,2),则实数m的取值范围为()A.0,12B.-,12C.-,12D.(-,0【解析】选C.由约束条件,作出可行域如图中阴影部分所示,而目标函数z=y+1x-m的几何意义为可行域内的点(x,y)与A(m,-1)连线的斜率,由x+y-1=0,x-2y-4=0,得x=2,y=-1,即B(2,-1).由题意知m=2不符合题意,故点A与点B不重合,因而当连接AB时,斜率取到最小值0.由y=-1与2x-y-2=0,得交点C12,-1,在点A由点C向左移动的过程中,可行域内的点与点A连线的斜率小于2,因而目标函数的取值范围满足z0,2),则m1,f(0)=4,则不等式f(x)3ex+1(e为自然对数的底数)的解集为()A.(0,+)B.(-,0)(3,+)C.(-,0)(0,+)D.(3,+)【解析】选A.由f(x)3ex+1,得exf(x)3+ex.构造函数F(x)=exf(x)-ex-3,得F(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1.由f(x)+f(x)1,ex0,可知F(x)0,即F(x)在R上单调递增.又因为F(0)=e0f(0)-e0-3=f(0)-4=0.所以F(x)0的解集为(0,+).第卷本卷包含必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.已知点A(x1,ax1),B(x2,ax2)是函数y=ax(a1)的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论ax1+ax22ax1+x22成立.运用类比思想方法可知,若点A(x1,sin x1),B(x2,sin x2)是函数y=sin x(x(0,)的图象上任意不同两点,则类似地有_成立.【解析】对于函数y=ax(a1)的图象上任意不同两点A,B,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论ax1+ax22ax1+x22成立;对于函数y=sin x(x(0,)的图象上任意不同的两点A(x1,sin x1),B(x2,sin x2),线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的下方,类比可知应有sin x1+sin x22sinx1+x22成立.答案:sin x1+sin x22sinx1+x2214.如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4,=-1,则的值是_.【解析】令=a,=b,则=-b,=2a,=3a,则=3a-b,=3a+b,=2a-b,=2a+b,=a-b,=a+b,则=9a2-b2,=a2-b2,=4a2-b2,由=4,=-1可得9a2-b2=4,a2-b2=-1,因此a2=58,b2=138,因此=4a2-b2=45-138=78.答案:7815.已知数列an,bn满足a1=12,an+bn=1,bn+1=bn1-an2,nN+,则b2 019=_.【解析】因为an+bn=1,a1=12,所以b1=12,因为bn+1=bn1-an2,所以bn+1=bn1-1-bn2+2bn=bn2bn-bn2=12-bn,所以1bn+1-1-1bn-1=-1,又b1=12,所以1b1-1=-2,所以数列1bn-1是以-2为首项,-1为公差的等差数列,所以1bn-1=-n-1,所以bn=nn+1.故b2 019=2 0192 020.答案:2 0192 02016.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2A+sin2B+sin2C=23sin Asin Bsin C且a=2,则ABC的外接圆的半径R=_.【解析】由正弦定理得a2+b2+c2=a2+b2+a2+b2-2abcos C=23absin C,即a2+b2=2absinC+6,由于a2+b2=2absinC+62ab,又a2+b22ab,所以2absinC+6=2ab,即sinC+6=1,故只能a=b且C+6=2,故ABC为正三角形,由正弦定理得asinA=2sin60=2R,所以R=233.答案:233三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A,C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值.(2)求P到海防警戒线AC的距离.【解析】(1)依题意,有PA=PC=x,PB=x-1.58=x-12,在PAB中,AB=20,cosPAB=PA2+AB2-PB22PAAB=x2+202-(x-12)22x20=3x+325x,同理,在PAC中,AC=50,cosPAC=PA2+AC2-PC22PAAC=x2+502-x22x50=25x.因为cosPAB=cosPAC,所以3x+325x=25x,解得x=31.(2)作PDAC于点D,在ADP中,由cosPAD=2531,得sinPAD= 1-cos2PAD=42131,所以PD=PAsinPAD=3142131=421.故静止目标P到海防警戒线AC的距离为421千米.18.(本小题满分12分)为了解人们对于国家新颁布的“生育二孩放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机调查了50人,他们年龄频数分布及支持“生育二孩”人数如下表:年龄5,15)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)频数510151055支持“生育二孩”4512821(1)由以上统计数据填下面22列联表,并问是否在犯错误的概率不超过0.01的前提下(有99%的把握)认为以45岁为分界点对“生育二孩放开”政策的支持度有差异:年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持a=c=不支持b=d=合计(2)若对年龄在5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持“生育二孩放开”的概率是多少?参考数据:P(K23.841)=0.050,P(K26.635)=0.010,P(K210.828)=0.001.【解析】(1)22列联表年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持a=3c=2932不支持b=7d=1118合计104050K2=50(311-729)2(3+7)(29+11)(3+29)(7+11)6.27b0)的离心率为63,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x-2y+6=0相切.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知点A,B为动直线y=k(x-2)(k0)与椭圆C的两个交点,问:在x轴上是否存在定点E,使得EA2+EAAB为定值?若存在,试求出点E的坐标和定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由e=63,得ca=63,即c=63a,又以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2,且该圆与直线2x-2y+6=0相切,所以a=|6|22+(-2)2=6,代入得c=2,所以b2=a2-c2=2,所以椭圆C的标准方程为x26+y22=1.(2)由x26+y22=1,y=k(x-2),得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12k21+3k2,x1x2=12k2-61+3k2.根据题意,假设x轴上存在定点E(m,0),使得EA2+EAAB=(EA+AB)EA=EAEB为定值,则EAEB=(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(k2+1)x1x2- (2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2)=(3m2-12m+10)k2+(m2-6)1+3k2,要使上式为定值,即与k无关,只需3m2-12m+10=3(m2-6),解得m=73,此时,EA2+EAAB=m2-6=-59,所以在x轴上存在定点E73,0,使得EA2+EAAB为定值,且定值为-59.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=ln x-12ax2-bx.(1)当a=b=12时,求f(x)的最大值.(2)令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(00)当0x0,此时f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,x0,所以x1=m-m2+4m20(舍去),x2=m+m2+4m2,当x(0,x2)时,g(x)0,g(x)在(x2,+)单调递增,当x=x2时,g(x2)=0,g(x)取最小值g(x2).则g(x2)=0,g(x2)=0,即x22-2mln x2-2mx2=0x22-mx2-m=0.所以2mln x2+mx2-m=0,因为m0,所以2ln x2+x2-1=0(*).设函数h(x)=2ln x+x-1,因为当x0是,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解.因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,即m+m2+4m2=1,解得m=12.请考生在第22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程点是曲线=2(0)上的动点,(2,0),的中点为Q.(1)求点Q的轨迹C的直角坐标方程.(2)若C上点处的切线斜率的取值范围是-3,-33,求点横坐标的取值范围.【解析】(1)由=2(0),得x2+y2=4(y0),设P(x1,y1),Q(x,y),则x=x1+22,y=y12,即x1=2x-2,y1=2y,代入x12+y12=4(y0),得(2x-2)2+(2y)2=4,所以(x-1)2+y2=1(y0). (2)轨迹C是一个以(1,0)为圆心,1半径的半圆,如图所示,设M(1+cos ,sin ),设点M处切线l的倾斜角为,由l斜率范围-3,-33,可得2356,而=-2,所以63,所以321+cos 2+32,所以,点M横坐标的取值范围是32,2+32.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=|x+1|+|x-4|-a.(1)当a=1时,求函数f(x)的最小值.(2)若f(x)4a+1对任意的实数x恒成立,求实数a的取值范围.【解析】 (1)当a=1时,f(x)=|x+1|+|x-4|-1|x+1-(x-4)|-1=4,所以f(x)min=4.(2)f(x)4a+1对任意的实数x恒成立|x+1|+|x-4|-1a+4a对任意的实数x恒成立a+4a4,当a0时,a+4a2a4a=4,当且仅当a=4a,即a=2时上式取等号,此时a+4a4成立.综上,实数a的取值范围为(-,0)2.
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