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专题50 直线与圆锥曲线的位置关系【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，一直是命题的热点，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系.命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明直线与椭圆、直线与抛物线位置关系问题的解法与技巧.（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线和椭圆：为例（1）联立直线与椭圆方程：（2）确定主变量（或）并通过直线方程消去另一变量（或），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：，整理可得：（3）通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 方程有两个不同实根直线与椭圆相交 方程有两个相同实根直线与椭圆相切 方程没有实根直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离1、位置关系的判定：以直线和抛物线：为例联立方程：，整理后可得：（1）当时，此时方程为关于的一次方程，所以有一个实根.此时直线为水平线，与抛物线相交（2）当时，则方程为关于的二次方程，可通过判别式进行判定 方程有两个不同实根直线与抛物线相交 方程有两个相同实根直线与抛物线相切 方程没有实根直线与抛物线相离2、焦点弦问题：设抛物线方程：，过焦点的直线（斜率存在且），对应倾斜角为，与抛物线交于联立方程：，整理可得：（1） （2） （3）（三）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线和椭圆：为例：（1）联立直线与双曲线方程：，消元代入后可得：（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为，有可能为零.所以要分情况进行讨论当且时，方程变为一次方程，有一个根.此时直线与双曲线相交，只有一个公共点当时，常数项为，所以恒成立，此时直线与双曲线相交当或时，直线与双曲线的公共点个数需要用判断： 方程有两个不同实根直线与双曲线相交 方程有两个相同实根直线与双曲线相切 方程没有实根直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置.尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当时，点位于双曲线的右支；当时，点位于双曲线的左支.对于方程：，设两个根为 当时，则，所以异号，即交点分别位于双曲线的左，右支 当或，且时，所以同号，即交点位于同一支上（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点刚好与双曲线的渐近线斜率相同.所以可通过数形结合得到位置关系的判定 且时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点 时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上. 或时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：直线不一定与双曲线有公共点（与的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上.（四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式：1、直线与圆锥曲线问题的特点：（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设，至于坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂（3）通过联立方程消元，可得到关于（或）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出（所谓“设而不求”）（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入.则可简化运算的过程这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（，坚持数形结合，坚持整体代入.直至解决解析几何问题“2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系.进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案.所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方.如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地.3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：（1）斜截式：，此直线不能表示竖直线.联立方程如果消去则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件（2），此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线.经常在联立方程后消去时使用，多用于抛物线（消元后的二次方程形式简单）.此直线不能直接体现斜率，当时，斜率4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或（1）证明：因为在直线上，所以 ，代入可得：同理可证得（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果为直线与曲线的交点（即为曲线上的弦），则（或）可进行变形：，从而可用方程的韦达定理进行整体代入.5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线.不妨以椭圆方程为例，设直线与椭圆交于两点，则该两点满足椭圆方程，有： 考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系： 由等式可知：其中直线的斜率，中点的坐标为，这些要素均在式中有所体现.所以通过“点差法”可得到关于直线的斜率与中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时.同时由可得在涉及坐标的平方差问题中也可使用点差法【经典例题】例1.【2018年天津卷理】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C不妨设： ，双曲线的一条渐近线方程为： ，据此可得： ， ，则，则，双曲线的离心率： ，据此可得： ，则双曲线的方程为.本题选择C选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可.例2.【2018年新课标I卷理】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.例3.过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D思路二：线段为椭圆的弦，且问题围绕着弦中点展开，在圆锥曲线中处理弦中点问题可用“点差法”，设，则有，两式作差，可得：，发现等式中出现与中点和斜率相关的要素，其中，所以，且，所以等式化为即，所以答案：D点睛：两类问题适用于点差法，都是围绕着点差后式子出现平方差的特点.（1）涉及弦中点的问题，此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜率的联系（2）涉及到运用两点对应坐标平方差的条件，也可使用点差法例4.【2018年北京卷文】已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_.【答案】 焦点坐标为.例5. 【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m1)上两点A，B满足=2，则当m=_时，点B横坐标的绝对值最大【答案】5与对应相减得，当且仅当时取最大值.例6.【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上（）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； （）若P是半椭圆x2+=1(xb0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点) ，求k的值.【答案】() ；() 或【解析】分析：（）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2则椭圆的方程为（）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）由题意可得5y1=9y2由方程组可得由方程组可得据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或详解：（）设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b由已知可得， ， ，由，可得ab=6，从而a=3，b=2所以，椭圆的方程为（）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或所以，k的值为或例8.【2018年北京卷理】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，求证：为定值【答案】(1) 取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）(2)证明过程见解析【解析】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，再由，得，利用直线PA，又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）从而k-3所以直线l斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）（）设A（x1，y1），B（x2，y2）由（I）知，直线PA的方程为y2=令x=0，得点M的纵坐标为同理得点N的纵坐标为由，得，所以所以为定值例9. 已知抛物线的焦点为.(1)若斜率为的直线过点与抛物线交于两点,求的值;(2)过点作直线与抛物线交于两点,且,求的取值范围.【答案】(1)8；(2) .,.又,恒成立,恒成立.,只需即可,解得.所求的取值范围为.例10.【2018届四川省成都市第七中学模拟一】已知圆，点圆上一动点，点在直线上，且，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知，过点作直线与曲线交于不同两点，线段的中垂线为，线段的中点为点，记与轴的交点为，求的取值范围.【答案】（1）（2）详解：（1）.（2）由题意可知直线的斜率存在，设：.联立直线与椭圆，消去得.，又，解得，所以所以，即.所以.【精选精练】1.【2018届峨眉山市第七教育发展联盟高考适应性考试】已知双曲线的一条渐近线为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：通过椭圆的焦点，可以求出双曲线的，根据双曲线的渐近线可以得到，再由双曲线中 的等量关系可以通过方程组求出的值。详解：椭圆的焦点坐标为 ，所以 由渐近线方程，得 所以 ，可解得所以标准方程为所以选A2椭圆的离心率为，为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆的方程为A. B. C. 或 D. 或【答案】C3【2018届安徽省合肥市第一中学最后1卷】点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”.下列结论中正确的是（ ）A. 直线上的所有点都是“点”B. 直线上仅有有限个点是“点”C. 直线上的所有点都不是“点”D. 直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A【解析】分析：设，由，可得，由在上，可得关于的方程，证明方程恒有解即可得结论详解：如图所示，设，方程恒有实数解，点在直线上，总存在过的直线交抛物线于两点，且，所以，直线上的所有点都是“点”，故选A.点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“点”达到考查共线向量、直线与抛物线的位置关系的目.4【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知为坐标原点，过点作两条直线与抛物线：相切于，两点，则面积的最小值为_【答案】【解析】分析：求出以为切点的切线方程为，为切点的切线方程为，代入，可得，同理为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，联立，可得，又到直线的距离为，当时，等号成立，故答案为.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.5【2018届安徽省宿州市第三次检测】抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若，则_【答案】1或3结合可得：，直线的方程为：，与抛物线方程整理可得：，则：，结合可得：，则；当点B位于点A下方时，由几何关系可知：，代入抛物线方程可得：，综上可得，p的值为1或3.6已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线截椭圆形成的弦长为，且椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点，且，则当取得最小值时，求直线的方程.【答案】(1) ；(2) .【解析】（1）联立解得，故. 又， ，解得， ，整理得，所以， ，故 .综上所述， 的最小值为，此时直线的方程为.7.【2018届江西省重点中学协作体第二次联考】已知椭圆： 的离心率为，短轴为.点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2）答案见解析.【解析】分析：（1）由题意结合平面向量数量积的坐标运算可得的方程为.（2）当不为轴时，设：，、.联立与的方程可得，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算可得.当为轴时，也满足上述结论.则存在使得 .因为为定值，所以，解得.此时定值为.当为轴时，.综上，存在使得为定值.8【2018年天津卷文】设椭圆 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，. （I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.【答案】()；().详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得由,从而所以，椭圆的方程为（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，点的坐标为由的面积是面积的2倍，可得，从而，即易知直线的方程为，由方程组消去y，可得由方程组消去，可得由，可得，两边平方，整理得，解得，或当时，不合题意，舍去；当时，符合题意所以，的值为点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题9【2018年北京卷文】已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（）求椭圆M的方程； （）若，求 的最大值；（）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点 共线，求k.【答案】（）（）（）（）设直线的方程为，由消去可得，则，即，设， ，则， ，则，易得当时， ，故的最大值为（）设， ， ， ，则 ， ，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得，则，即，又，代入式可得，所以，所以，同理可得故， ，因为三点共线，所以，将点的坐标代入化简可得，即10.【2018年新课标I卷文】设抛物线，点， ，过点的直线与交于， 两点（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明： 【答案】(1) y=或 (2)见解析.（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABM=ABN当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x10，x20由得ky22y4k=0，可知y1+y2=，y1y2=4综上，ABM=ABN点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.11.【2018年新课标I卷理】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【答案】(1) AM的方程为或.(2)证明见解析.【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入椭圆方程求得点A的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；(2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.详解：（1）由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为或.（2）当l与x轴重合时，.将代入得.所以，.则.从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.综上，.12.如图，设为抛物线上不同的四点，且点关于轴对称，平行于该抛物线在点处的切线.（1）求证：直线与直线的倾斜角互补；（2）若，且的面积为16，求直线的方程.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）设，则由导数的几何意义可得，于是可设直线的方程为，代入抛物线方程得到关于x的一元二次方程，然后根据斜率公式和根与系数的关系证得，即证得直线与直线的倾斜角互补（2）由可得，由由消去y整理得，因为直线与抛物线交于两点，所以设，则因为，所以直线与直线的倾斜角互补（2）因为，所以，即，解得所以当时，直线的方程为
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