matlab第四章矩阵与方程组.ppt

第四讲矩阵与线性代数计算 研究内容 线性方程组的求解与矩阵特征值问题 一 矩阵定义 二 矩阵生成生成规则生成方式 由元素列表直接生成矩阵 从外部数据文件读入矩阵 用户自编M文件生成矩阵 利用小阵生成大阵 利用系统内部函数生成矩阵 A 123 456 789 B A A 0 1 A 0 2 A 0 3 B 1 00002 00003 00001 10002 10003 10004 00005 00006 00004 10005 10006 10007 00008 00009 00007 10008 10009 10001 20002 20003 20001 30002 30003 30004 20005 20006 20004 30005 30006 30007 20008 20009 20007 30008 30009 3000 1 zeros 生成元素全部为0的矩阵 B zeros 3 4 B 000000000000 2 ones 生成元素全部为1的矩阵 C ones 2 5 C 1111111111 3 rand 生成均匀分布随机元素矩阵 D rand 3 5 D 0 95010 48600 45650 44470 92180 23110 89130 01850 61540 73820 60680 76210 82140 79190 1763 4 randn 生成正态分布随机元素矩阵 E randn 2 4 E 0 43260 1253 1 14651 1892 1 66560 28771 1909 0 0376 5 magic 生成N阶幻方方阵 M magic 4 M 16231351110897612414151 6 diag 生成一个矩阵的主对角元素 Mo diag M Mo 161161 diag Mo ans 160000110000600001 7 triu 生成上三角阵 M1 triu M M1 162313011108006120001 8 tril 生成下三角阵 M2 16000M2 tril M 511009760414151 9 length 用来返回指定向量的长度 n length Mo n 4 10 size 返回指定矩阵的行数和列数 m n size M m 4n 4 11 eye 生成指定行列数的单位矩阵 e eye size M e 1000010000100001 12 hilb 生成以1 i j 1为元素的实对称矩阵 h4 hilb 4 h4 1 00000 50000 33330 25000 50000 33330 25000 20000 33330 25000 20000 16670 25000 20000 16670 1429三 矩阵取块 A 1 10001 20001 30001 40002 10002 20002 30002 40003 10003 20003 30003 4000A 2 ans 2 10002 20002 30002 4000A 3 ans 1 30002 30003 3000A 2 7 ans 2 10003 10001 20002 20003 20001 3000 A 2 4 ans 1 20001 30001 40002 20002 30002 40003 20003 30003 4000A ans 1 10002 10003 10001 20002 20003 20001 30002 30003 30001 40002 40003 4000 四 矩阵运算 矩阵的行列式与转置阵行列式 det A A1 123 456 780 A10 det A1 A10 27A2 123 456 789 A20 det A2 A20 0symscA3 123 456 78c A30 det A3 A30 3 c 27 转置矩阵 A B1 135 2610 BB B1 AA A1 BB 1236510AA 147258360矩阵的加 减 乘及乘方运算注 与数学中的运算符大致一样 可开任意有理数根 矩阵求逆与除法运算 满秩方阵 A 1 inv A A B A inv B A B inv A B inv A1 ans 1 77780 8889 0 11111 5556 0 77780 2222 0 11110 2222 0 1111inv A3 ans 1 3 5 c 48 c 9 2 3 c 12 c 9 1 c 9 2 3 2 c 21 c 9 1 3 c 21 c 9 2 c 9 1 c 9 2 c 9 1 c 9 例1 求解方程组AX b A 1 1 11 b 5 1 A 1 1 11 b 5 1 X inv A b 或X A binv A Xans 0 50000 5000X 3 0 50000 5000 2 矩阵秩与奇异值rank A A1 123 456 780 A2 123 456 789 B1 135 2610 rank A1 ans 3rank A2 ans 2rank B1 ans 1奇异值 矩阵范数与条件数范数 norm A p b 123 A12 norm A1 2 A22 norm A2 2 b2 norm b 2 A12 A22 b2A12 13 2015A22 16 8481b2 3 7417条件数 cond A K1 cond A1 K1 35 1059K2 cond A2 K2 3 8131e 016病态方程组 五 矩阵特征值和特征向量 P R eig A 实对称矩阵 A1 5 20 262 027 P R eig A1 P 0 66670 6667 0 33330 6667 0 33330 6667 0 33330 66670 6667R 3 00000006 00000009 0000 实对称矩阵 A2 1 1 1 11 1 1 11 P R eig A2 P 0 57740 76340 28950 5774 0 63250 51640 5774 0 1310 0 8059R 1 00000002 00000002 0000 B2 122 1 11 4 121 P R eig B2 P 0 9045 0 7255 0 72550 3015 0 2176 0 0725i 0 2176 0 0725i 0 30150 5804 0 2902i0 5804 0 2902iR 1 0000000 0 0000 1 0000i000 0 0000 1 0000i 六 矩阵分解与广义逆阵 广义逆阵 设A为m n阶矩阵 如果存在n m阶矩阵G 满足条件 1 AGA A 2 GAG G 3 AG AG 4 GA GA 表示共轭后再转置 则称G为A的广义逆阵 记为A G A pinv A A1 123 456 780 G1 pinv A1 G1 1 77780 8889 0 11111 5556 0 77780 2222 0 11110 2222 0 1111 A2 123 456 G2 pinv A2 G2 0 94440 4444 0 11110 11110 7222 0 2222A2 G2ans 1 00000 0 00001 0000G2 A2ans 0 83330 3333 0 16670 33330 33330 3333 0 16670 33330 8333 A3 12 24 36 G3 pinv A3 G3 0 01430 02860 04290 02860 05710 0857A3 G3ans 0 07140 14290 21430 14290 28570 42860 21430 42860 6429G3 A3ans 0 20000 40000 40000 8000 LU分解A LU A是方阵 U是上三角阵 L是一个经过行交换的下三角阵 L U lu A A1 5 20 262 027 L1 U1 lu A1 L1 1 000000 0 40001 0000000 38461 0000U1 5 0000 2 0000005 20002 0000006 2308 Cholesky分解A R R A为对称正定矩阵 R为上三角阵 R 为R的转置 R chol A A 5 10 262 027 R chol A R 2 2361 0 4472002 40830 8305002 5120 QR分解A QR Q为正交阵 R为上三角阵 Q R qr A A1 5 20 262 027 Q1 R1 qr A1 Q1 0 9285 0 3431 0 14210 3714 0 8578 0 35530 0 38270 9239R1 5 38524 08530 74280 5 2259 4 3945005 7564 奇异值分解A U S V S为A的奇异值对角阵 U与V为正交阵 V 是V的共轭后再转置 U S V svd A A1 123 234 345 U1 S1 V1 svd A1 U1 0 38510 82770 4082 0 55950 1424 0 8165 0 7339 0 54280 4082S1 9 62350000 62350000 0000V1 0 3851 0 82770 4082 0 5595 0 1424 0 8165 0 73390 54280 4082 例2 求解线性方程组x1 2x2 3x3 62x1 3x2 4x3 93x1 4x2 7x3 14解 A1 123 234 347 b1 6 9 14 r1 rank A1 r1 3所以A1为一满秩方阵 方程组有惟一解 X11 A1 b1X11 1 00001 00001 0000 七 线性方程组求解 例3 求解x1 2x2 3x3 62x1 3x2 4x3 93x1 5x2 7x3 15解 A2 123 234 357 b2 6 9 15 r12 rank A2 r12 2Ab2 A2 b2 Ab2 1236234935715r22 rank Ab2 r22 2由r22 r21 2知 方程组为相容方程组 只有两个独立方程 可取x1 2x2 3x3 62x1 3x2 4x3 9 若令x3 c 利用线性方程组的符号解法有 A20 12 23 b20 sym 6 3 c 9 4 c X20 A20 b20X20 c3 2 c解为X x1 x2 x3 c 3 2c c 例4 求解x1 2x2 3x3 62x1 4x2 6x3 123x1 6x2 9x3 18解 A3 123 246 369 b3 6 12 18 r13 rank A3 r13 1Ab3 A3 b3 r32 rank Ab3 r32 1由r31 r32 1知方程为相容方程组 且只有一个方程独立 可取x1 2x2 3x3 6 若令x1 c1 x2 c2 则x3 2 1 3c1 2 3c2 解为x1 c1 x2 c2 x3 2 1 3c1 2 3c2 例5 求解x1 2x2 3x3 62x1 3x2 4x3 93x1 5x2 7x3 14解 A4 123 234 357 b4 6 9 14 r41 rank A4 r41 2Ab4 A4 b4 r42 rank Ab4 r42 3由r41 r42知方程组为矛盾方程组 不存在通常意义下的解 但可利用广义逆阵求最小二乘解 X pinv A4 b4X 1 16671 00000 8333