高考数学函数及其基本性质.ppt

第6讲函数及其基本性质1 高中阶段研究的基本初等函数主要有一次函数 正比例函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 幂函数以及三角函数共七类 各类函数的五大性质 定义域 值域 最值 极值 边界 周期性 奇偶性 对称性 单调性 是高考的重点与热点 是试卷命题的中心 也是体现考试说明中抽象概括能力 推理论证能力及运算求解能力的良好载体 试题多不会趋向简单 2 备考过程中既要从宏观上掌握研究学习函数的一般方法和规律 按照 定义 定义域 值域 图象 性质 的思路程序研究每一类函数 又要从微观上理解和把握各类函数的不同性质 运算规律 3 函数及其基本性质是函数内容的主体部分 是高考考查的重点 其中定义域 单调性 奇偶性 周期性等几乎是每年必考 常常是将这些知识点与集合 不等式 方程 函数图象等知识交汇融合 以填空题的形式进行考查 对于函数定义域 还常常隐性地进行考查 因为研究函数的性质以及其他问题时 必须首先研究函数的定义域 函数的单调性 奇偶性 周期性经常融合为一体 在研究参数的范围问题 求值问题中进行考查 4 以函数知识为依托 渗透基本数学思想方法 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程 包括解决几何问题 纵观近几年江苏省高考试卷 从老版本教材到新课标教材 选择填空题 解答题均有涉及 以基本函数为背景的应用题和综合题是每一年高考 能力立意 的首选素材 备考过程中还要仔细体会数形结合这一数学思想方法的应用 函数是考查数形结合思想的良好载体 除应熟悉常见函数图象外 还应加强函数与方程 图象与曲线的区别与统一性认识 加强对图象与图象变换的理解与应用 5 新课标考试说明明确要求 注重数学的应用意识和创新意识的考查 函数 一节为这一要求提供了良好的载体 函数知识与社会现实 经济建设 科技发展密切相关 以社会热点为背景 考查函数应用题 有利于培养学生应用数学的意识 有助于提高学生应用数学的能力和创新实践能力 纵观08 09年高考试卷中 山东 广东 江苏等新课标实施地区均在这方面有不同程度的体现 例1 2008 山东 已知f 3x 4xlog23 233 则f 2 f 4 f 8 f 28 的值等于 分析首先由题设求出f x 表达式 进而研究待求和式的规律 解析 f 3x 4xlog23 233 4log23x 233 f x 4log2x 233 f 2 f 4 f 28 4 1 2 8 233 8 2008 2008 探究拓展当题设中 f x 解析式未明确 而由条件可求时 应首先依相关知识确定f x 的解析式 这是各个加数的 通项公式 而规律往往蕴含于其中 备考中要注意体会与掌握 变式训练1已知函数f x 0 对任意x y有f x y 2f x f y 和f x y f2 x f2 y 则 解析2f x f y f x y f2 x f2 y f x f y 2 0 f x f y 要求的值为1004 1004 例2 若函数f x x a bx 2a 常数a b R 是偶函数 且它的值域为 4 则该函数的解析式f x 分析f x 定义域为R 又是偶函数 则f x f x 结合另一条件 可求出待定系数a b 解析 f x f x 且f x bx2 2a ab x 2a2 f x b x 2 2a ab x 2a2 bx2 2a ab x 2a2 2a ab 2a ab 即2a ab 0 a 0或b 2 当a 0时 f x bx2 f x 值域为 4 而y bx2值域不可能为 4 a 0 当b 2时 f x 2x2 2a2 值域为 2a2 2a2 4 a2 2 f x 2x2 4 答案探究拓展本题实质以偶函数定义为条件构造了一个 恒成立问题 即f x 为偶函数 f x f x 恒成立 即 x R 2a ab x 0恒成立 这又迫使x的系数2a ab为零 以满足x取值的 任意 性 类似问题还可用 单调性 奇函数 来构造 x R 2x2 4 变式训练2 2008 北京 已知函数 ax2 3bx c b 0 且g x f x 2是奇函数 求a c的值 解因为函数g x f x 2为奇函数 所以 对任意的x R g x g x 即f x 2 f x 2 又f x x3 ax2 3bx c 所以 x3 ax2 3bx c 2 x3 ax2 3bx c 2 解得a 0 c 2 f x x3 例3 设函数f x 在 上满足f 2 f 2 x f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上 只有f 1 f 3 0 1 试判断函数y f x 的奇偶性 2 试求方程f x 0在闭区间 2010 2010 上的根的个数 并说明你的结论 分析由条件可得f x 是周期函数 依规律探寻 2010 2010 上方程根的个数 注意考查清楚目标区间包含多少周期 解 1 由f 2 x f 2 x 得f 1 f 5 而f 5 0 f 1 f 1 即f x 不是偶函数 x 又f x 在 0 7 上只有f 1 f 3 0 f 0 0 从而知函数y f x 不是奇函数 故函数y f x 是非奇非偶函数 从而知函数y f x 的周期为T 10 又f 3 f 1 0 f 11 f 13 f 7 f 9 0 故f x 在 0 10 和 10 0 上均有2个根 从而可知函数y f x 在 0 2000 上有400个根 在 2000 2010 上有2个根 在 2000 0 上有400个根 在 2010 2000 上有2个根 所以方程f x 0在 2010 2010 上有804个根 探究拓展本题考查抽象函数的奇偶性 周期性等函数性质 利用周期性求方程根的个数 对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加的趋势 解题的关键是 合理赋值 化抽象为具体 由此探究函数的性质 变式训练3设f x 定义如下面数表 xn 满足x0 5 且对任意自然数n均有xn 1 f xn 则x2010的值为 解析 x0 5 x1 f x0 f 5 2 x2 f x1 f 2 1 x3 f x2 f 1 4 x4 f x3 f 4 5 x5 f x4 f 5 2 x1 可见数列 xn 周期为4 x2010 x2 1 1 例4 定义在 0 上的函数f x 对于任意的m n 0 都有f mn f m f n 成立 且当x 1时 f x 0 1 求f 1 的值 2 求证 f x 在 0 上是减函数 3 比较的大小 分析赋值法求出f 1 0 单调性的证明紧扣条件 依靠定义完成 比较大小可根据单调性作出结论 1 解令m n 1 则有f 1 f 1 f 1 即f 1 0 2 证明设x1 x2 0 f mn f m f n f x1 f x2 f x 在 0 上是减函数 3 解 探究拓展 1 抽象函数是近几年来高考考查的一个重点 在近几年的高考试题中经常出现 因此也是一个热点 2 抽象函数的背景函数常见形式如下 f x y f x f y 其背景函数为f x ax a 0 且a 1 f xy f x f y 其背景函数为f x logax a 0 且a 1 f x y f x f y 其背景函数为f x kx 变式训练4定义在R上的函数f x 满足 f x f y 2xy x y R f 1 2 则f 3 f x y 解析令x n y 1 则f n 1 f n f 1 2n f n 1 f n 2n 2 f n f n f n 1 f n 1 f n 2 f n 2 f n 3 f 2 f 1 f 1 2 n 1 2 2 n 2 2 2 1 2 2 答案6 例5 已知a 0且f logax 1 求f x 2 判断f x 的奇偶性和单调性 3 若函数f x 定义在 1 1 时 有f 1 m f 1 m2 0 求m的集合M 分析 1 换元法求f x 2 依奇偶性和单调性的定义来解 3 若将不等式具体化将是十分麻烦的 紧扣性质解题 可使过程优化 a 1 解 1 令t logax 则x at 代入f logax 可得 函数解析式为 2 对于任意实数x f x 为奇函数 设x1 x2 R 且x11时 a2 1 0 f x1 0且a 1时 f x 是增函数 3 当x 1 1 时 有 由f 1 m f 1 m2 0 解得m 1或m 2 综上所述 可知1 m 所以集合M m 1 m 探究的展 1 求函数解析式是一项基本功 多不会单独考察 而是融于大题之中 是处理后面各小题的基础 务必掌握好 2 单调性与奇偶性的证明与判断 要求理由充分详实 多依据定义 3 抽象不等式处理 通常不要具体化 多依据单调性解决 但要注意限制在函数的定义域内 变式训练5已知二次函数f x ax2 bx a b为常数且a 0 满足条件f x 3 f 5 x 且方程f x x有等根 1 求f x 的解析式 2 是否存在实数m n m n 使f x 的定义域和值域分别为 m n 和 3m 3n 如果存在 求出m n的值 如果不存在 请说明理由 解 1 由f x 3 f 5 x 可知 函数f x 的对称轴为直线x 1 又方程f x x有等根 即ax2 b 1 x 0 所以b 1 0 故b 1 代入 可得所以 函数f x 在 m n 上单调递增 假设存在实数m n m n 使f x 的定义域和值域分别为 m n 和 3m 3n 则有即m n是方程f x 3x的两根 由f x 3x 得x1 4 x2 0 所以m 4 n 0 规律方法总结1 周期性 1 类比 三角函数图象与性质 得 若y f x 图象有两条对称轴x a x b a b 则y f x 必是周期函数 且其周期为T 2 a b 若y f x 图象有两个对称中心A a 0 B b 0 a b 则y f x 是周期函数 且其周期为T 2 a b 如果函数y f x 的图象有一个对称中心A a 0 和一条对称轴x b a b 则函数y f x 必是周期函数 且其周期为T 4 a b 或者叙述为 如果函数y f x 满足f T1 x f T1 x 且 f T2 x T1与T2是不相等的常数 则y f x 是以2 T1 T2 为周期的周期函数 本质上 f x 关于x T1与x T2对称 实为前述结论 只是叙述角度上此为代数方式 彼为几何法 如果偶函数y f x 满足f T x f T x T 0 则y f x 是以2T为周期的周期函数 你能指出与结论 的联系吗 如果奇函数y f x 满足f T x f T x T 0 则y f x 是以4T为周期的周期函数 你能指出该结论与前述 之间的联系吗 f T2 x 2 函数周期的若干给出方式 函数f x 满足 f x f a x 则f x 是周期为2a的周期函数 若恒成立 则T 2a 若恒成立 则T 2a 运用函数的周期性 是实现化归思想方法的重要手段 2 关于函数的对称性 1 函数图象自身的对称性 自对称 函数y f x 满足f T x f T x T为常数 的充要条件是y f x 的图象关于直线x T对称 函数y f x 满足f x f 2T x T为常数 的充要条件是y f x 的图象关于直线x T对称 函数y f x 满足f a x f b x 的充要条件是y f x 的图象关于直线对称 2 两个函数的图象对称性 互对称 利用解析几何中对称曲线的方程理解 曲线y f x 与y f x 关于x轴对称 曲线y f x 与y f x 关于y轴对称 曲线y f x 与y f 2a x 关于直线x a对称 曲线f x y 0关于直线y b的对称曲线为f x 2b y 0 曲线f x y 0关于直线 x y c 0的对称曲线为f y c x c 0 曲线f x y 0关于直线x y c 0的对称曲线为f y c x c 0 曲线f x y 0关于点P a b 的对称曲线为f 2a x 2b y 0 特别地 f x y 0关于点 0 0 的对称曲线为f x y 0 3 判断函数单调性的常用方法 1 定义法 2 两个增 减 函数的和仍为增 减 函数 一个增 减 函数与一个减 增 函数的差是增 减 函数 3 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 4 奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性 偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性 5 利用导数的理论去研究函数的单调性 复合函数单调性的判断方法 如果y f u 和u g x 的单调性相同 那么y f g x 是增函数 如果y f u 和u g x 的单调性相反 那么y f g x 是减函数 4 函数的奇偶性 1 对于函数f x 如果对于定义域内任意一个x都有f x f x 那么f x 就叫做奇函数 如果对于函数定义域内任意一个x都有f x f x 那么f x 就叫做偶函数 偶函数性质 f x f x f x f x 奇函数f x 若在x 0处有意义 则f 0 0 2 函数f x 可以是奇函数也可以是偶函数 也可以既是奇函数又是偶函数 也可以两者都不是 但是 必须注意的是 研究函数的奇偶性必须首先明确函数的定义域是否关于原点对称 3 奇函数的图象是关于原点成中心对称的图形 偶函数的图象是关于y轴成轴对称的图形 反之也成立 在定义域的公共部分内 两奇函数之积 商 为偶函数 两个偶函数之积 商 也是偶函数 一奇一偶函数之积 商 为奇函数 注 取商时应使分母不为0 奇 偶 函数有关定义的等价形式 4 任意一个定义域关于原点对称的函数f x 均可写成一个奇函数g x 与一个偶函数h x 和的形式 且5 函数图象的几种变换 1 平移变换函数y f x a a 0 的图象可以由函数y f x 的图象向左平移a个单位而得到 函数y f x b b 0 的图象可以由函数y f x 的图象向上平移b个单位而得到 2 伸缩变换函数y Af x A 0 且A 1 的图象可由函数y f x 的图象上各点的纵坐标伸长 A 1 或缩短 00 且 1 的图象可由函数y f x 的图象上各点的横坐标缩短 1 或伸长 0 1 到原来的倍 纵坐标不变而得到 3 对称变换函数y f x 的图象可通过作函数y f x 的图象关于x轴对称的图形而得到 函数y f x 的图象可通过作函数y f x 的图象关于y轴对称的图形而得到 函数y f x 的图象可通过作函数y f x 的图象关于原点对称的图形而得到 函数y f x 的图象可通过作函数y f x 的图象 然后把其在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方 其余部分保持不变而得到 一 填空题1 若函数f 2x 的定义域是 1 1 则f x 1 的定义域是 解析因x 1 1 则知f x 定义域为故f x 1 中 2 已知函数f x 的定义域为R 值域为 1 2 则函数f x 2 的值域是 解析函数f x 图象向左平移2个单位可得函数f x 2 图象 可知图象只有左右平移则不会改变值域 故函数f x 2 的值域仍是 1 2 本题解答时易由 y 1 2 而得 f x 2 3 4 的错误 主要是对定义域与值域的概念理解不清而造成的 1 2 3 设定义在R上的函数f x 满足f x f x 2 13 若f 1 2 则f 99 解析f x f x 2 13 以4为周期 25 1 f 1 f 99 f 4 4 设函数则f 10 的值为 解析学生在解题中不能挖掘出 x 与 之间结构关系而无法解决 1 5 2009 江苏押题 二次函数f x 满足f 3 x 又f x 是 0 3 上的增函数 且f 0 那么实数a的取值范围是 解析 f 3 x f 3 x y f x 关于x 3对称 又 f x 是 0 3 上的增函数 f x 是 3 6 上的减函数 又 f a f 0 0 a 6 6 2009 徐州调研 设函数y f x 的定义域为R 则下列命题 f 3 x f a 0 a 6 设y f x 是偶函数 则y f x 2 的图象关于y轴对称 设y f x 2 是偶函数 则y f x 的图象关于直线x 2对称 设f x 2 f 2 x 则y f x 的图象关于直线x 2对称 y f 4 x 与y f x 的图象关于直线x 2对称 其中正确命题的序号是 解析 因y f x 是偶函数可知其图象关于y轴对称 则y f x 2 图象关于直线x 2对称 设f x 2 f 2 x 则y f x 的图象关于点 2 0 对称 二 解答题7 设定义在 2 2 上的偶函数在区间 0 2 上单调递减 若f 1 m f m 求实数m的取值范围 解 f x 是偶函数 f x f x 由f 1 m f m 得f 1 m f m 又 2 1 m 2 2 m 2 0 1 m 2 0 m 2 而y f x 在 0 2 上单调递减 由式 得 m 1 m 2 8 设奇函数f x 在 1 1 上是增函数 且f 1 1 若函数f x t2 2at 1对所有的x 1 1 都成立 则当a 1 1 时 求t的取值范围 解奇函数f x 在 1 1 上是增函数 且f 1 1 f 1 1 函数f x t2 2at 1对所有的x 1 1 都成立 t2 2at 1 1 又 a 1 1 令g a 2t a t2 t 0时 g a 0成立 t 0时 g 1 0且g 1 0 t 2或t 2 由 得t 2或t 0或t 2 9 已知y f x 是偶函数 当x 0时 且当x 3 1 时 n f x m恒成立 求m n的最小值 解由题意知 当x 3 1 时 n f x min m f x max 所以 m n min f x max f x min 由f x 是偶函数知当x 3 1 时 f x min f 2 4 故 m n min 1 10 2009 镇江调研 函数f x 满足 定义域是 0 当x 1时 f x 2 对任意 总有f xy f x f y 2 回答下面的问题 1 求出f 1 的值 2 写出一个满足上述条件的具体函数 3 判断函数f x 的单调性 并用单调性的定义证明你的结论 解 1 令x 1 有f 1 y f 1 f y 2 所以f 1 2 2 f x 2 logax 0 a 1 x y 0 3 f x 在 0 上单调递减 证明如下 设x1 x2 0 且x1 x2 所以f x 在 0 上单调递减