微分几何§3曲面的第二基本形式.ppt

3曲面的第二基本形式3 1曲面的第二基本形式前面研究了曲面的内蕴几何 而与的曲面的形式无关 本节研究外在形式 曲面的弯曲性 曲面在一点的弯曲性 自然地用曲面偏离此点的切平面来描述 给出曲面S 上的曲线C P为C上一点对应参数为s Q为其邻近点 s s p n Q C M 定义 称为曲面的第二基本形式 其中L M N为曲面的弯曲系数 几何意义 曲面的第二基本形式近似地等于P的邻近点Q到P的切平面中距离的两倍 计算公式1 计算公式2 因为所以可得 例1求球面的第二基本形式 解 所以第二基本形式 对于曲面有 其中 注1第二基本形式不是正定型 2 参数变换下最多差有一个符号 3 2曲面上曲线的曲率 只要在p点及与C相切的曲线 这个值不变 这就是曲面在P点沿C方向的法曲率 给出曲面S 及S上曲线C P是C上一点对应参数为s 则对C有 定义3 4 2设点P是曲面上曲线C上一点 k是C在点p的曲率 则称为C在点p的曲率向量 称为在曲面S上的点P处沿曲线C的切方向的法曲率 记为 n 曲面法曲率是曲面上点P和方向的函数同一点只要方向相同 则法曲率相同 对法曲率 是否存在一条曲线使得这条曲线的曲率就是法曲率呢 只要即可 这就是法截线 S上点p的切方向d和曲面的法向确定的平面称为曲面上一点处沿切方向的法截面 法截面和曲面的交线就是P点处沿切方向的法截线 n 梅尼埃定理 曲面上曲线在给定点p处的曲率中心C就是与曲线具有相同切线的法截线在同一点p的曲线中心在曲线C的密切平面上的投影 例在球面上验证梅尼埃定理 把梅尼埃定理中的取为一个球面上的小圆 取为与该小圆相切于点的大圆 则梅尼埃定理显然成立 3 3杜邦指标线 曲面在一点处的杜邦指标线方程为 法曲率是曲面上点P和方向的函数 在P点沿方向dr取线段PN使得 的点N的轨迹曲面在P点处的杜邦指标线 两边平方得 N 曲面上点的分类 平点 由曲面在一点处的杜邦指标线方程知是以P为中心的有心二次曲线 椭圆点 双曲点 抛物点 例 求证曲线的切线曲面上的点都是抛物点 证 设曲线 其切线曲面的方程为 由于 所以曲面上的点都是抛物点 4 曲面的渐进线和共轭方向 1 主要概念曲面在一点 曲线上的曲线 如果它上面每一点的切方向都是渐近方向 则称为渐近曲线 渐近曲线的方程是 3 4曲面的渐近方向和共轭方向 定义 如果P点是曲面的双曲点 则它的杜邦指标线有一对渐近线 我们把沿渐近线的方向称为曲面在P点的渐近方向 由解析几何中二次曲线的理论可知 这两个渐近方向满足方程分别表示在P点的值 命题1如果曲面上有直线 则它一定是曲面上的渐进曲线 证明 因为直线的曲率 所以沿直线方向的法曲率 即因而直线是曲面的渐近曲线 命题2曲面在渐进线上一点的切平面一定是渐进曲线的密切平面 当时 渐近曲线是直线 这时曲面的切平面过它 因此切平面又是密切平面 当曲面的法向量垂直于渐近曲线的主法向量 因此曲面的切平面除通过渐近曲线的切线外还通过主法向量 所以它又是渐近曲线的密切平面 证明 沿渐近曲线有得到 如果曲面上的点都是双曲点 则曲面上存在两族渐近曲线 这两族渐近曲线 称为曲面上的渐近网 命题3曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是证明 渐近网的方程是曲纹坐标网的方程是即若代入渐近网方程可得即反之 若代入渐近网方程可知 设曲面上P点处的两个方向为和如果包含这两个方向的直线是P点的杜邦指标线的共轭直径 则方向称为曲面的共轭方向 由解析几何二次曲线理论杜邦指标线两个共轭方向满足 给出曲面上的两族曲线 如果过曲面上每一点 此两族曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向 则这两族曲线称为曲面上的共轭网 由方程组有非零解得共轭的方向为 满足 设与曲线族 共轭的方向为 即有Adu Bdv 0 L u M v du M u N v 0 命题4曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是M 0 所以u线 A 0 的共轭方向 满足L u M v 0 若u线 A 0 的共轭方向 是v线方向则有M 0反之也对 有下命题 证明 必要性已证 充分性 M 0 取du dv 1 0 u v 0 1代入共轭条件成立