2018年秋九年级数学上册第四章图形的相似4.5相似三角形判定定理的证明备课素材新版北师大版.doc

第四章图形的相似*5相似三角形判定定理的证明 素材一 新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入(1)观察并思考，用叠合法证明如图451所示两个风筝图形相似图451(2)相似三角形的判定方法有哪些？说明与建议 说明：利用学生感兴趣的动画演示开始本节课的学习和探讨，更有助于培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣建议：通过让学生寻找身边形状相同的三角形，来理解相似三角形的特征，并寻求相似的判定方法，为本节课的学习做好铺垫复习导入回答下列问题：问题1：相似三角形的定义是什么？问题2：相似三角形的判定方法有哪些？说明与建议 说明：一是巩固所学内容，由浅入深，激发学生的学习兴趣；二是为新课的学习做好铺垫通过学生回顾复习已得结论，激发学生的学习兴趣建议：问题由学生口答完成，其他学生矫正完成后教师引导学生，从而引入新课引导性语言：通过复习，我发现你们掌握得很好今天这节课，我们一起对三角形相似的条件进行证明 素材二 考情考向分析命题角度1 利用相似三角形的性质求边长相似三角形的对应角相等、对应边成比例，根据相似三角形边的对应关系可以求边长例毕节中考 如图452，在ABC中，AE交BC于点D，CE，ADDE35，AE8，BD4，则DC的长等于(A)图452A.B.C.D. 命题角度2 利用相似的判定证明相似两个三角形相似的判定有三条：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例在证明两个三角形相似时，要根据题目所给的已知条件灵活选择判定方法例益阳中考 如图453，在ABC中，ABAC，BDCD，CEAB于点E.求证：ABDCBE.图453答案：略 命题角度3 证明两三角形相似并解决综合问题根据题目寻找条件证明两个三角形相似，并能利用相似来解决动点问题解决此类问题的关键是要注意分情况讨论这要求学生对于证明三角形相似的判定理解透彻，能从题目中分析出不同的对应关系例武汉中考 如图454，在RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0t2)(1)如图，连接PQ，若BPQ与ABC相似，求t的值；(2)如图，连接AQ，CP，若AQCP，求t的值；(3)试证明PQ的中点在ABC的一条中位线上图454解：(1)当BPQBAC时，BP5t，QC4t，AB10 cm，BC8 cm，t1；当BPQBCA时，t.t1或t时，BPQ与ABC相似图455(2)如图455所示，过点P作PMBC于点M，设AQ，CP交于点N，则有PB5t，PMPBsinB3t，BM4t，MC84t.NACNCA90，PCMNCA90，NACPCM且ACQPMC90，ACQCMP，解得t.(3)如图456，仍有PMBC于点M，PQ的中点设为D点，再作PEAC于点E，DFAC于点F.图456ACB90，DF为梯形PECQ的中位线，DF.QC4t，PE8BM84t，DF4.BC8，过BC的中点R作直线平行于AC，RCDF4成立，点D在过点R的中位线上，PQ的中点在ABC的一条中位线上命题角度4 利用相似求最值求最值的基本思路是利用两点之间线段最短能够利用对称的性质找到动点的位置，再利用相似等知识解决问题例天津中考 如图457，在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(0，4)，点E在OB上，且OAEOBA.(1)如图，求点E的坐标(2)如图，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连接AB，BE.设AAm，其中0m2，试用含m的式子表示AB2BE2，并求出使AB2BE2取得最小值时点E的坐标；当ABBE取得最小值时，求点E的坐标(直接写出结果即可)图457图458解：(1)点A(2，0)，B(0，4)，OA2，OB4.OAEOBA，EOAAOB90，OAEOBA，即，解得OE1，点E的坐标为(0，1)(2)如图458，连接EE.由题设知AAm(0m2)，则AO2m.在RtABO中，由AB2AO2BO2，得AB2(2m)242m24m20.AEO是由AEO沿x轴向右平移得到的，EEAA，且EEAA，BEE90，EEm.又BEOBOE3，在RtBEE中，BE2EE2BE2m29，AB2BE22m24m292(m1)227.当m1时，AB2BE2可以取得最小值，此时，点E的坐标是(1，1)如图458，过点A作ABx轴，并使ABBE3.易证ABAEBE，BABE，ABBEABBA.当点B，A，B在同一条直线上时，ABBA最小，即此时ABBE取得最小值易证ABAOBA，而AO2，AA2，EEAA，点E的坐标是. 素材三 教材习题答案P102习题4.91 如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AEBFCD，那么ABC与DEF相似吗？请证明你的结论解：相似 提示：利用两角分别相等的两个三角形相似证明2已知：如图，求证：ABAE.提示：先用三边成比例证ABCDEA，得到一对角相等，再用等角对等边得证3已知：如图，在ABC中，D是边AC上的一点，CBD的平分线交AC于点E，且AEAB.求证：AE2ADAC.证明：BE平分CBD，DBECBE.AEAB，ABEAEB.又ABEABDDBE, AEBCCBE，ABDC.ABDC，AA，ABDACB， 即ABABADAC. AEAB，AE2ADAC.4如图，在ABC中，AB8 cm，BC16 cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2 cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4 cm/s.如果P，Q两动点同时运动，那么何时QBP与ABC相似？解：设运动时间为t s，AP2t，BP82t, BQ4t.BB，当时，BPQBAC，此时，解得t2；当时，BPQBCA，此时，解得t0.8.0.8 s或2 s后PBQ和ABC相似 素材四 图书增值练习专题 相似三角形判定定理的证明 “两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似”，如图，已知（ABDE），A=D，求证：ABCDEF.请利用转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为前面已经学过的方法（即已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似）请利用上述方法完成这个定理的证明【方法技巧】解题的关键是正确作出辅助线构造平行线或全等三角形答案：证明：在AB上截取AG=DE，作GHBC，AGHABC，AG=DE，AH=DF，A=D，AGHDEF，ABCDEF 素材五 数学素养提升自相似下图看上去很特别图中画些什么呢？首先看到，在图的右边醒目位置，画了一个女孩她正站在画板前面，神采奕奕，提笔作画（这是第一个女孩）其次看到，女孩在画中所表现的，是她自己正在绘画的情形所以她的画中有一位和她一模一样的女孩，正在摆着与她同样的姿势，站在画板前面，提笔作画（这是第二个女孩）女孩画中的女孩，所画的当然也是她自己正在绘画的情形所以，在画中女孩的画里，也有一位一模一样的女孩，以同样的姿势，正在作画（这是第三个女孩）画中女孩画中的女孩，画的还是同样的画。所以，在画中女孩画中女孩的画里，同样有一个一模一样的女孩，以同样的姿势，正在作同样的画（这是第四个女孩）在绘制同一幅图形的过程中，如果下一步产生的图形总是与上一步的图形相似，那么这种现象叫做自相似上图就是一幅自相似的图形只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去起初，自相似现象偶尔被应用于广告或宣传画，用来吸引行人停足观看后来发现，自然界中其实存在很多自相似现象例如雪花的形成、树木的生长、土地干旱形成的地面裂纹等等有一门新兴的数学分支，叫做分形几何学，对自相似图形进行了富有成效的研究