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第一节数列的概念与简单表示最新考纲1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知识梳理 1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项从函数观点看，数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值2数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法4数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式5数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式6an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an7.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列8必会结论:在数列an 中，若an最大，则若an最小，则9数列中的数与集合中的元素的区别与联系：(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，则它们是不同的数列这区别于集合中元素的无序性(2)数列中的数可以重复出现而集合中的元素不能重复出现典型例题考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)，2，8，；(3)，1，；(4)3,33,333,3333，；(5)1,3,6,10,15，； (6)1,7，13,19，；(7)，；(8)，；(9)，；(10)1,1，2,2，3,3【答案】(1)an2n1； (2)an； (3) an； (4) an(10n1)；(5) an； (6) an(1)n(6n5)； (7) an(1)n，nN；(8) an； (9)an(1)n； (10)an【解析】(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an.(3)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，因此可得它的一个通项公式为an.(6)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(7)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n，nN.(8)数列中各项的符号可通过(1)n1表示每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，所以an.(9)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，原数列可化为，所以an(1)n.(10)数列的奇数项为1，2，3，可用表示数列的偶数项为1,2,3，可用表示因此an规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN处理(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法【变式训练1】(1)数列0，的一个通项公式为()Aan(nN) Ban(nN)Can(nN) Dan(nN)【答案】C【解析】注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可(2)已知nN，给出4个表达式：anan；an；an.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通项公式的是()ABCD【答案】A【解析】检验知都是所给数列的通项公式考点二由Sn与an的关系求an【例2】 (1)已知数列an的前n项和Snn21，则an_.【答案】an【解析】当n1时，a1S12；当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1.故an(2)若数列an的前n项和Snan(nN)，则an的通项公式an_.【答案】(2)n1【解析】由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，整理得an2an1，又当n1时，S1a1a1，a11，an是首项为1，公比为2的等比数列，故an(2)n1.(3)设数列an满足a13a232a33n1an，则an_.【答案】【解析】因为a13a232a33n1an，则当n2时，a13a232a33n2an1，得3n1an，所以an(n2)由题意知a1，符合上式，所以an. 15已知数列an的通项公式an(n2)n，则数列an的项取最大值时，n_.【答案】4或5
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