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3.3.3函数的最大(小)值与导数学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法(重点)3.能根据函数的最值求参数的值(难点)自 主 预 习探 新 知1函数f(x)在区间a，b上的最值如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得思考：若函数f(x)在区间a，b上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间a，b上的最大值吗？提示根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间a，b上的最大值2求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值基础自测1思考辨析(1)函数的最大值一定是函数的极大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()(4)函数f(x)在区间1,1上有最值()答案(1)(2)(3)(4)2函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是()A2B0C2D4Cf(x)3x26x，令f(x)0得x0或x2.由f(1)2，f(0)2，f(1)0得f(x)maxf(0)2.3函数yxsin x，x的最大值是() 【导学号：97792160】A1B.1CD1Cy1cos x0，故函数yxsin x，x是增函数，因此当x时，函数有最大值，且ymaxsin .合 作 探 究攻 重 难求函数的最值求下列各函数的最值(1)f(x)2x33x212x5，x2,1；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5解(1)f(x)6x26x12，令f(x)0得x1或x2，又x2,1，故x1，且f(1)12.又因为f(2)1，f(1)8，所以，当x1时，f(x)取最大值12.当x1时，f(x)取最小值8.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.规律方法求函数在闭区间上最值的步骤第一步求f(x)，解方程f(x)0第二步确定在闭区间上方程f(x)0的根第三步求极值、端点值，确定最值跟踪训练1求下列各函数的最值(1)f(x)x33x，x，3；(2)f(x)x2(x0)解(1)f(x)33x23(1x)(1x)令f(x)0，得x1或x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1,3)3f(x)00f(x)0极小值极大值18所以x1和x1是函数在，3上的两个极值点，且f(1)2，f(1)2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f()0，f(3)18，所以f(x)max2，f(x)min18.(2)f(x)2x.令f(x)0，得x3.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,0)f(x)0f(x)极小值所以x3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故f(x)的最小值为f(3)27，无最大值.含参数的函数的最值问题已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值. 【导学号：97792161】思路探究求导讨论a的正负判断0,2上的单调性得最值解f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max规律方法1.含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值2已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围跟踪训练2已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值解由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)(1)当a0时，且x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.(2)当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.与最值有关的恒成立问题探究问题1比较两个函数式的大小，常用什么方法？提示：常用差比较法2函数最值和“恒成立”问题有什么联系？提示：解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题如f(x)0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)求a的取值范围，使g(a)g(x)0成立思路探究(1)求出g(x)的表达式是解题的关键；(2)构造辅助函数，结合单调性求解；(3)显然g(x)的最值决定了参数a的取值范围。解(1)由题设知f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，所以g(x)ln x所以g(x)，令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0，故g(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)1.(2)gln xx，设h(x)g(x)g2ln xx，则h(x).当x1时，h(1)0，即g(x)g；当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减当0xh(1)0，即g(x)g；当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g.(3)因为g(a)g(x)0成立，即ln a0成立由(1)知，g(x)的最小值为1，所以ln a1，解得0ae.规律方法分离参数求解不等式恒成立问题跟踪训练3已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围. 【导学号：97792162】解f(x)ln x1ln x，xf(x)xln x1，而xf(x)x2ax1(x0)等价于ln xxa.令g(x)ln xx，则g(x)1.当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，x1是g(x)的最大值点，所以g(x)g(1)1.综上可知，a的取值范围是1，)当 堂 达 标固 双 基1函数y的最大值为()Ae1BeCe2D.A函数y的定义域为(0，)y，由0得xe，当0x0，当xe时，y0.因此当xe时，函数y有最大值，且ymaxe1.2若函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值、最小值分别为M，N，则MN的值为()A2B4C18D20Df(x)3x23，令f(x)0得x1.当0x1时，f(x)0；当10.则f(1)最小，又f(0)a，f(3)18a，f(3)f(0)，所以最大值为f(3)，即Mf(3)，Nf(1)MNf(3)f(1)(18a)(2a)20.3函数yx2cos x在区间上的最大值是_y12sin x0，解得x，比较0，处的函数值，得ymax.4函数f(x)x3x22x5，对任意x1,2都有f(x)m，则实数m的取值范围是_由题意知只要f(x)minm即可，由f(x)3x2x20，得x(舍去)或x1，易知f(x)minf(1)，所以m.5已知函数f(x)ln x，求f(x)在上的最大值和最小值. 【导学号：97792163】解f(x).由f(x)0，得x1.在上，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,2)2f(x)0f(x)1ln 2极小值0ln 2ff(2)2ln 2(ln e3ln 16)，而e316，ff(2)0.f(x)在上的最大值为f1ln 2，最小值为0.
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