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专题突破练175.15.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.(2018河北衡水中学考前仿真,文3)已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为()2.(2018宁夏银川一中一模,理4)已知正三角形ABC的边长为a,那么ABC的平面直观图ABC的面积为() A.a2B.a2C.a2D.a23.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为()A.B.C.D.34.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.5.(2018河南郑州三模,理7)某几何体的三视图如图所示,记A为此几何体所有棱的长度构成的集合,则()A.3AB.5AC.2AD.4A6.(2018河北唐山三模,理7)某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为()A.4B.8C.D.7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3B.C.1D.8.(2018河南濮阳一模,理7)已知三棱锥A-BCD中,ABD与BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为()A.B.5C.6D.9.(2018百校联盟四月联考,理12)在三棱锥A-BCD中,AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,ABBD,则三棱锥A-BCD外接球的体积的最小值为()A.B.C.D.二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2018江苏卷,10)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.11.(2018天津卷,理11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.12.正ABC的三个顶点都在球O的球面上,AB=AC=2,若三棱锥O-ABC的体积为2,则该球的表面积为.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.(2018河北唐山一模,理19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1B1C平面AA1C1C,BAC=90.(1)证明:ACCA1;(2)若A1B1C是正三角形,AB=2AC=2,求二面角A1-AB-C的大小.14.(2018河北唐山三模,理19)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,BAC=PAD=PCD=.(1)求证:平面PAB平面ABCD;(2)若AB=AC=PA=3,E为BC的中点,F为棱PB上的点,PD平面AEF,求二面角A-DF-E的余弦值.15.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,直线AF平面ABCD,EFAB,AD=2,AB=AF=2EF=1,点P在棱DF上.(1)求证:ADBF;(2)若P是DF的中点,求异面直线BE与CP所成角的余弦值;(3)若,求二面角D-AP-C的余弦值.参考答案专题突破练175.15.3组合练1.A解析 四棱锥的正视图和俯视图可知几何体的直观图如图所示,其侧视图为选项A.2.D解析 如图所示的平面图形和直观图.由可知,AB=AB=a,OC=OC=a,在图中作CDAB于D,则CD=OC=a.SABC=ABCD=aa=a2.3.B解析 由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则SAED=11=,SABC=SABE=1,SACD=1,故选B.4.C解析 由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示.切削掉部分的体积V1=326-224-322=20(cm3),原来毛坯体积V2=326=54(cm3).故所求比值为5.D解析 根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥,如图所示,四边形ABCD是一个边长为4的正方形,且AF面ABCD,DEAF,DE=4,AF=2,AFAB,DEDC,DEBD,EC=4,EF=FB=2,BE=4A为此几何体所有棱的长度构成的集合,A=2,4,4,4,2.6.C解析 由三棱锥的三视图得其直观图如下:几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥A-BCD,BC=CD=2,三棱锥的高为2,所以三棱锥的体积为V=222=7.C解析 D是等边三角形ABC的边BC的中点,ADBC.又ABC-A1B1C1为正三棱柱,AD平面BB1C1C.四边形BB1C1C为矩形,2又AD=2,AD=1.故选C.8.D解析 如图所示.ABD与BCD是边长为2的等边三角形,且二面角A-BD-C为直二面角,设F,E分别为ABD和BCD的中心,则球心O为ABD和BCD的过中心的垂线的交点,所以OF=OE=FG=2=ED=2=,则球半径r=,则S=49.C解析 由AB=AC,DB=DC,得ABDACD,所以ACCD,所以AD中点O为三棱锥A-BCD外接球的球心,其球的半径R=所以三棱锥A-BCD外接球的体积V)3=故选C.10解析 由题图可知,该多面体为两个全等的正四棱锥的组合体,且正四棱锥的高为1,底面正方形的边长为,所以该多面体的体积为2()21=11解析 由题意可知,四棱锥M-EFGH的底面EFGH为正方形且边长为,其高为,所以V四棱锥M-EFGH=12解析 正三角形ABC的三个顶点都在以O为球心的球面上,且AB=AC=BC=2,取BC中点D,连接AD,OD,过O作OE平面ABC,则OEAD=E,如图所示:AD=,AE=AD=,SABC=BCAD=2,三棱锥O-ABC的体积为2,OE=2,解得OE=2,球的半径为OA=,球的表面积为S=4OA2=13.解 (1)过点B1作A1C的垂线,垂足为O,由平面A1B1C平面AA1C1C,平面A1B1C平面AA1C1C=A1C,得B1O平面AA1C1C,又AC平面AA1C1C,得B1OAC.由BAC=90,ABA1B1,得A1B1AC.又B1OA1B1=B1,得AC平面A1B1C.又CA1平面A1B1C,得ACCA1.(2)以C为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长度1,建立空间直角坐标系C-xyz.由已知可得A(1,0,0),A1(0,2,0),B1(0,1,).所以=(1,0,0),=(-1,2,0),=(0,-1,).设n=(x,y,z)是平面A1AB的一个法向量,则可取n=(2,1).设m=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,则可取m=(0,1).则cos=又因为二面角A1-AB-C为锐二面角,所以二面角A1-AB-C的大小为14.解 (1)ABCD,PCCD,ABPC.ABAC,ACPC=C,AB平面PAC.ABPA.PAAD,ABAD=A,PA平面ABCD,PA平面PAB,平面PAB平面ABCD.(2)连接BD,交AE于点O,连接OF,E为BC的中点,BCAD,PD平面AEF,PD平面PBD,平面AEF平面PBD=OF,PDOF,以AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(-3,3,0),P(0,0,3),E,F(2,0,1),设平面ADF的一个法向量m=(x1,y1,z1).=(2,0,1),=(-3,3,0),由m=0,m=0得取m=(1,1,-2).设平面DEF的一个法向量n=(x2,y2,z2).=,-,1,由n=0,n=0得取n=(1,3,4).cos=-二面角A-DF-E为钝二面角,二面角A-DF-E的余弦值为-15.(1)证明 AF平面ABCD,AFAD.又ADAB,ABAF=A,AD平面ABEF.又BF平面ABEF,ADBF.(2)解 直线AF平面ABCD,AB,AD平面ABCD,AFAB,AFAD.又ADAB,以A为原点,AB,AD,AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),E,P,C(1,2,0),=-,0,1,设异面直线BE与CP所成角为,则cos =,异面直线BE与CP所成角的余弦值为(3)解 由(2)得AB平面ADF,平面ADF的一个法向量n1=(1,0,0).由知P为FD的三等分点,且此时P在平面APC中,=(1,2,0).平面APC的一个法向量n2=(-2,1,-1).|cos|=又二面角D-AP-C为锐角,该二面角的余弦值为
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