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专题跟踪训练(二十二) 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1(2018中原名校联盟联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A且m B且mCmn且n Dmn且n解析对于选项A，且m，可得m或m与相交或m，故A不成立；对于选项B，且m，可得m或m或m与相交，故B不成立；对于选项C，mn且n，则m，故C正确；对于选项D，由mn且n，可得m或m与相交或m，故D不成立故选C.答案C2已知直线m，l与平面，满足l，l，m，m，则下列命题一定正确的是()A且lm B且mCm且lm D且解析m，m，.又l，l，lm.故选A.答案A3(2018内蒙古赤峰模拟)已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面，下列命题中正确命题的个数为()若mn，n，则m；若l，m且lm，则；若ln，mn，则lm；若，m，n，nm，则n.A1 B2 C3 D4解析若mn，n，则m或m，不正确；若l，m，且lm，由面面垂直的判定定理可得，正确；若ln，mn，则l与m平行、相交或为异面直线，不正确；若，m，n，nm，由面面垂直的性质定理得n，因此正确综上可知只有正确故选B.答案B4原创题如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，D是棱PB的中点，已知PABC2，AB4，CBAB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为()A B.C D.解析如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE.则在PBC中，PDDB，BEEC，所以DEPC，且DEPC.故EDA为异面直线PC，AD所成的角或其补角因为PA平面ABC，所以PAAC，PAAB.在RtABC中，AC2；在RtPAC中，PC2.故DEPC.在RtPAB中，PB2；又PDDB，所以ADPB.在RtEAB中，AE.在DAE中，cosADE.设异面直线PC，AD所成的角为，则cos|cosADE|.故选D.答案D5(2018温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将ADE沿AE翻折成SAE，使得平面SAE平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是()存在点E使得直线SA平面SBC；平面SBC内存在直线与SA平行；平面ABCE内存在直线与平面SAE平行A0 B1 C2 D3解析由题图，得SASE，若存在点E使得直线SA平面SBC，则SASB，SASC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故正确选B.答案B6(2018河北五校联考)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD4，AA12.过点A1作平面与AB，AD分别交于M，N两点，若AA1与平面所成的角为45，则截面A1MN面积的最小值是()A2 B4 C4 D8解析如图，过点A作AEMN，连接A1E，A1A平面ABCD，A1AMN，又A1AAEA，MN平面A1AE，A1EMN，平面A1AE平面A1MN，AA1E为AA1与平面A1MN所成的角，AA1E45，在RtA1AE中，AA12，AE2，A1E2，在RtMAN中，由射影定理得MEENAE24，由基本不等式得MNMEEN24，当且仅当MEEN，即E为MN的中点时等号成立，截面A1MN面积的最小值为424，故选B.答案B二、填空题7(2018定州二模)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则EF_.解析根据题意，因为EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，所以EFAC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点因为在RtDEF中，DEDF1，故EF.答案8过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG中(其中D、E、F、G分别为AC，BC，B1C1，A1C1的中点)易知经过D、E、F、G中任意两点的直线共有C6条答案69.(2018山东烟台二模)如图是一张矩形白纸ABCD，AB10，AD10，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将ABE，CDF沿BE，DF折起，且A、C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的序号)当平面ABE平面CDF时，AC平面BFDE；当平面ABE平面CDF时，AECD；当A、C重合于点P时，PGPD；当A、C重合于点P时，三棱锥PDEF的外接球的表面积为150.解析在ABE中，tanABE，在ACD中，tanCAD，所以ABEDAC，由题意，将ABE，DCF沿BE，DF折起，且A，C在平面BEDF同侧，此时A、C、G、H四点在同一平面内，平面ABE平面AGHCAG，平面CDF平面AGHCCH，当平面ABE平面CDF时，得到AGCH，显然AGCH，所以四边形AGHC为平行四边形，所以ACGH，进而可得AC平面BFDE，故正确；由于折叠后，直线AE与直线CD为异面直线，所以AE与CD不平行，故不正确；当A、C重合于点P时，可得PG，PD10，又GD10，PG2PD2GD2，所以PG与PD不垂直，故不正确；当A，C重合于点P时，在三棱锥PDEF中，EFD与FCD均为直角三角形，所以DF为外接球的直径，即R，所以外接球的表面积为S4R242150，故正确综上，正确命题的序号为.答案三、解答题10.(2018河南洛阳一模)如图，在四棱锥EABCD中，EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足ABCD，ADDCAB，且AEBD.(1)证明：平面EBD平面EAD；(2)若EAD的面积为，求点C到平面EBD的距离解(1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则由题意可知四边形BCDM为平行四边形，DMCBADAB，即点D在以线段AB为直径的圆上，BDAD，又AEBD，且AEADA，BD平面EAD.BD平面EBD，平面EBD平面EAD.(2)BD平面EAD，且BD平面ABCD，平面ABCD平面EAD.等边EAD的面积为，ADAEED2，取AD的中点O，连接EO，则EOAD，EO，平面EAD平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，EO平面ABCD.由(1)知ABD，EBD都是直角三角形，BD2，SEBDEDBD2，设点C到平面EBD的距离为h，由VCEBDVEBCD，得SEBDhSBCDEO，又SBCDBCCDsin120，h.点C到平面EBD的距离为.11(2018南昌摸底)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1，AA1，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO侧面ABB1A1.(1)证明：BCAB1；(2)若OCOA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值解(1)证明：由题意，tanABD，tanAB1B，由图可知0ABD，AB1B，所以ABDAB1B，所以ABDBAB1AB1BBAB1，所以AB1BD，又CO侧面ABB1A1，AB1CO.又BD与CO交于点O，所以AB1平面CBD，又因为BC平面CBD，所以BCAB1.(2)如图，以O为原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A，B，C，B1，D，又因为2，所以C1.所以，.设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则根据可得令x1，则y，z，所以n(1，)是平面ABC的一个法向量，设直线C1D与平面ABC所成角为，则sin.12(2018贵阳监测)如图所示，该几何体由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成，ADAF，AEAD2.(1)证明：平面PAD平面ABFE；(2)若正四棱锥PABCD的高为1，求二面角CAFP的余弦值解(1)证明：直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，ABAD，又ADAF，ABAFA，AD平面ABFE，AD平面PAD，平面PAD平面ABFE.(2)ADBC，AD平面ABFE，BC平面ABFE，且ABBF，建立以B为坐标原点，BA，BF，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示正四棱锥PABCD的高为1，AEAD2，A(2,0,0)，E(2,2,0)，F(0,2,0)，C(0,0,2)，P(1，1,1)，(2,2,0)，(0,2，2)，(1,1，1)，设n1(x1,1，z1)是平面ACF的一个法向量，则n1，n1，即解得x11，z11，即n1(1,1,1)设n2(x2,1，z2)是平面PAF的一个法向量，则n2，n2，即解得x21，z22，即n2(1,1,2)cosn1，n2，又二面角CAFP是锐角，二面角CAFP的余弦值是.
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