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第1课时组合与组合数公式学习目标1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题知识点一组合的定义思考从3,5,7,11中任取两个数相除；从3,5,7,11中任取两个数相乘以上两个问题中哪个是排列？与有何不同特点？答案是排列，中选取的两个数是有序的，中选取的两个数无需排列梳理一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合知识点二组合数与组合数公式组合数及组合数公式组合数定义及表示从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示.组合数公式乘积形式C阶乘形式C性质CCCCC备注规定C11从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C.()2从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积()3C54360.()4CC2 017.()类型一组合概念的理解例1给出下列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？考点组合的概念题点组合的判断解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题反思与感悟区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题跟踪训练1判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果(1)集合0,1,2,3,4的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？考点组合的概念题点组合的判断解(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合这是一个组合问题，组合的个数是C10.(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A9872，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C36(种)类型二组合数公式及性质的应用例2(1)计算CCA；考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算(1)解原式CA7652102100.(2)求证：CC.考点组合数公式题点组合数公式的应用(2)证明因为右边CC，左边C，所以左边右边，所以原式成立反思与感悟(1)涉及具体数字的可以直接用公式C计算(2)涉及字母的可以用阶乘式C计算(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：CC；CCC.跟踪训练2(1)计算CCCC的值为()AC BCCC1 DC1(2)计算CC_.考点组合数性质题点的性质计算与证明答案(1)C(2)5 150解析(1)CCCCCCCCCCCCC1CC1C1.(2)CCCC2005 150.例3(1)已知，求CC；(2)解不等式CC.考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题解(1)，即.1，即m223m420，解得m2或21.0m5，m2，CCCCC84.(2)由CC，得即解得又nN*，该不等式的解集为6,7,8,9反思与感悟(1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略nN*.(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的mN*，nN*，且nm确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意跟踪训练3解方程3C5A.考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题解原式可变形为3C5A，即5(x4)(x5)，所以(x3)(x6)54285.所以x11或x2(舍去)经检验符合题意，所以方程的解为x11.类型三简单的组合问题例4有10名教师，其中6名男教师，4名女教师(1)现要从中选2名去参加会议，有_种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有_种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有_种不同的选法考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案(1)45(2)21(3)90解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C45(种)(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2名是女教师有C种方法根据分类加法计算原理，共有CC15621(种)不同选法(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法CC90(种)反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏跟踪训练4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C35.1给出下列问题：从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是()A3 B2 C1 D0考点组合的概念题点组合的判断答案B解析与顺序有关，是排列问题，均与顺序无关，是组合问题，故选B.2集合Mx|xC，n0且nN，集合Q1,2,3,4，则下列结论正确的是 ()AMQ0,1,2,3,4 BQMCMQ DMQ1,4考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案D解析由C知n0,1,2,3,4，因为C1，C4，C6，CC4，C1，所以M1,4,6故MQ1,43若CC，则n等于()A3 B5 C3或5 D15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案C解析由组合数的性质得n2n3或n2n312，解得n3或n5，故选C.4某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有()A15种 B30种 C45种 D90种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案C解析分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有CCCC45(种)选法5五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成_条线段；如果是有向线段，共有_条考点组合的概念题点组合的判断答案1020解析从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A20.所以有向线段共有20条1排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(mn)个元素(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序2关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C计算(3)组合数的两个性质：性质1：CC；性质2：CCC.一、选择题1以下四个问题，属于组合问题的是()A从3个不同的小球中，取出2个排成一列B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地考点组合的概念题点组合的判断答案C解析只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题2.等于()A. B101C. D6考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案D解析A6.3下列等式不正确的是()AC BCCCCCC DCC考点组合数公式题点组合数公式的应用答案D解析A是组合数公式；B，C是组合数性质；C，C，两者不相等，故D错误4若A6C，则n的值为()A6 B7 C8 D9考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案B解析由题意知n(n1)(n2)6，化简得1，所以n7.5把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有()AA种 BC种CCA种 D30种考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C.6将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有()A24种 B10种C12种 D9种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案C解析第一步，为甲地选1名女教师，有C2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有26112(种)，故选C.7现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是()A115 B90 C210 D385考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案A解析依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有CC90(种)；三个黑球，有CC24(种)；四个黑球，有C1(种)根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90241115，故选A.8对于所有满足1mn5的自然数m，n，方程x2Cy21所表示的不同椭圆的个数为()A15 B7 C6 D0考点组合数性质题点利用组合数的性质进行计算与证明答案C解析因为1mn5，且方程表示椭圆，所以C可能为C，C，C，C，C，C，C，C， C，C，其中CC，CC，CC，CC，所以x2Cy21能表示的不同椭圆有6个二、填空题9从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则mn_.考点组合的概念题点组合的判断答案12解析mC，nA，mn12.10从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有_种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案60解析根据题意，所有可能的决赛结果有CCC6160(种)11不等式Cn5的解集为_考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案2,3,4解析由Cn5，得n5，即n23n100，解得2n5.由题意知n2，且nN*，则n2,3,4，故原不等式的解集为2,3,4三、解答题12已知C，C，C成等差数列，求C的值考点组合数公式题点组合数公式的应用解由已知得2CCC，所以2，整理得n221n980，解得n7或n14，要求C的值，故n12，所以n14，于是CC91.13在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)从中任取5人是组合问题，共有C792(种)不同的选法(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C36(种)不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C126(种)不同的选法四、探究与拓展14以下三个式子：C；AnA；CC.其中正确的个数是_考点组合数公式题点组合数公式的应用答案3解析式显然成立；式中An(n1)(n2)(nm1)，A(n1)(n2)(nm1)，所以AnA，故式成立；对于式CC，故式成立15某届世界杯举办期间，共32支球队参加比赛，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛1场，各组第一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛，每组有C6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强中每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，根据赛制规则，4强每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场综上，由分类加法计数原理知，总共将进行48842264(场)比赛
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