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2 三角与向量的创新考法与学科素养提分策略一探究命题情景应用能力就解决新定义问题而言，首先是通过阅读理解题意，把握题目所包括的新的概念、定理或方法的本质，然后分析材料，结合所学的数学知识和方法，通过归纳、探索、推理等有效方法解决问题(2018济宁模拟)对于任意两个非零的平面向量m，n，定义m，n之间的新运算：mn.已知非零的平面向量a，b满足：ab和ba都在集合x|x，kZ中，且|a|b|.若a，b的夹角(，)，则(ab)sin _.解析：根据题意得ab，k1Z，ba，k2Z，所以(ab)(ba)cos2.因为(，)，所以cos2，即，因为k1，k2Z，所以k1k22，cos2，sin ，因为|a|b|，所以k12，k21，所以ab，(ab)sin .答案：点评本题以新定义的形式创设新的命题情景：mn，主要是考查学生探究推理新问题的能力及数学运算素养对点训练在平面斜坐标系xOy中，xOy，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若xe1ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量)，则P点的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)给出以下结论：若60，P(2，1)，则|；若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)；若(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2y1y2；若60，以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2y2xy10.其中所有正确结论的序号是_解析：对于，2e1e2，则|2(2e1e2)254 cos 3，所以|，故正确对于，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，故正确对于，(x1，y1)，(x2，y2)，所以(x1e1y1e2)(x2e1y2e2)因为e1e20，所以x1x2y1y2，故错误对于，设圆O上任意一点为P(x，y)，因为|OP|1，所以(xe1ye2)21，所以x2y2xy10，故正确答案：提分策略二引入数学文化题考查数学文化，多从九章算术和数书九章等中国古代数学名著中挖掘素材第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为，那么tan()_.解析：依题意得大、小正方形的边长分别是5、1，于是有5 sin 5 cos 1(0)，即有sin cos .从而(sin cos )22(sin cos )2，则sin cos ，因此sin ，cos ，tan ，故tan ()7.答案：7点评本题以数学家大会会标为背景，引入我国古代数学家赵爽的弦图，既巧妙地考查了三角形全等以及三角函数公式的应用知识，又丰富了弦图的内涵对点训练九章算术是我国古代著名数学经典，书中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)已知弦AB1尺，弓形高CD1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈10尺100寸，3.14，sin 22.5 )A600立方寸B610立方寸C620立方寸D633立方寸解析：连接OA，OB，OD，设O的半径为R，则(R1)252R2，R13.sinAOD.AOD22.5，即AOB45.故AOB.S弓形ACBS扇形OACBSOAB13210126.33平方寸该木材镶嵌在墙中的体积为VS弓形ACB100633立方寸故选D.答案：D提分策略三引入临界知识考学科潜力1临界法则常用的“临界法则”有：(1)三角函数中的“合一变形”，即asin xbcos xsin(x)，其中满足cos ，sin ，解决很多三角综合问题都离不开它(2)射影定理：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则ab cos Cc cos B，bccos Aacos C，cacos Bbcos A.(3)已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则2R外接圆若ABC的面积为，2，则ABC外接圆面积的最小值为()A B. C2 D.解析：设ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由题意可得bcsin A，bccos A2，tan A.又A(0，)，A.bccos2，即bc4.由余弦定理可得a2b2c22bccos Ab2c2bcbc4，即a2.又由正弦定理得2R(R为ABC外接圆的半径)，2Rsin Aa2，即R2，R2，三角形外接圆面积的最小值为.答案：B点评本题巧用2R，通过a的取值范围求得R的范围，进而求得ABC外接圆面积的最小值2临界问题有些高考综合题的命题背景往往是竞赛数学或高等数学问题，这类经过“加工”的问题，可视为高考与竞赛或初等数学与高等数学的临界问题凸函数是一类重要的函数，其具有如下性质：若定义在(a，b)上的函数f(x)是凸函数，则对任意的xi(a，b)(i1,2，n)，必有f()成立已知ysin x是(0，)上的凸函数，利用凸函数的性质，当ABC的外接圆半径为R时，其周长的最大值为_解析：由凸函数的性质可得sinsin，化简得sin Asin Bsin C3sin.设a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，利用正弦定理可得三角形的周长labc2R(sin Asin Bsin C)2R3R，即周长的最大值为3R.答案：3R点评本题是以凸函数的性质为背景，巧妙地考查了正弦定理的应用，结合凸函数的性质使问题得以解决授课提示：对应学生用书第127页一、选择题1定义：|ab|a|b|sin ，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，ab6，则|ab|等于()A8B8C8或8D6解析：由|a|2，|b|5，ab6，可得25 cos 6cos .又0，所以sin .从而|ab|258.答案：B2已知外接圆半径为R的ABC的周长为(2)R，则sin Asin Bsin C()A1B1C.D.解析：由正弦定理知abc2R(sin Asin Bsin C)(2)R，所以sin Asin Bsin C1，故选A.答案：A3设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A.B.C.D0解析：设Sx1y1x2y2x3y3x4y4，若S的表达式中有0个ab，则S2a22b2，记为S1，若S的表达式中有2个ab，则Sa2b22ab，记为S2，若S的表达式中有4个ab，则S4ab，记为S3.又|b|2|a|，所以S1S32a22b24ab2(ab)20，S1S2a2b22ab(ab)20，S2S3(ab)20，所以S3S2S1，故SminS34ab，设a，b的夹角为，则Smin4ab8|a|2cos 4|a|2，即cos ，又0，所以.答案：B4已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|的最小值为()A5B4C3D6解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则3(2，y)3(1，by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)当yb时，|3|min5.答案：A二、填空题5(2018石家庄质检)非零向量m，n的夹角为，且满足|n|m|(0)，向量组x1，x2，x3由一个m和两个n排列而成，向量组y1，y2，y3由两个m和一个n排列而成，若x1y1x2y2x3y3所有可能值中的最小值为4m2，则_.解析：由题意，x1y1x2y2x3y3的运算结果有以下两种可能：m2mnn2m2|m|m|cos2m2(21)m2；mnmnmn3|m|m|cosm2.又2121()20，所以m24m2，即4，解得.答案：6定义平面向量的一种运算ab|ab|ab|sina，b，其中a，b是a与b的夹角，给出下列命题：若a，b90，则aba2b2；若|a|b|，则(ab)(ab)4ab；若|a|b|，则ab2|a|2；若a(1,2)，b(2,2)，则(ab)b.其中真命题的序号是_解析：中，因为a，b90，则ab|ab|ab|a2b2，所以成立；中，因为|a|b|，所以(ab)，(ab)90，所以(ab)(ab)|2a|2b|4|a|b|，所以不成立；中，因为|a|b|，所以ab|ab|ab|sina，b|ab|ab|2|a|2，所以成立；中，因为a(1,2)，b(2,2)，所以ab(1,4)，sin(ab)，b，所以(a b)b3，所以不成立故真命题的序号是.答案：7设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos bsin .若e1，e2均为单位向量，且e1e2，则向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为_解析：由e1e1，可得cose1，e2，故e1，e2，e2，e1e2，e1.f(e1，e2)e1cose2sine1e2，f(e2，e1)e2cos(e1)sine1e2.f(e1，e2)f(e2，e1)(e1e2)e1e20，所以f(e1，e2)f(e2，e1)故向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为.答案：8对任意两个非零的平面向量和，定义。.若平面向量a，b满足|a|b|0，a与b的夹角，且a。b和b。a都在集合中，则a。b_.解析：a。b，b。a.，cos 1.又|a|b|0，01.0cos 1，即0b。a1.b。a， b。a.，得(a。b)(b。a)cos2 ，(a。b)1，即1a。b2，a。b.答案：9三国魏人刘徽，自撰海岛算经，专论测高望远其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千岁，令后表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1 000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A，C，F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A，E，G三点也共线，问岛峰的高度AH_步(古制：1步6尺，1里180丈1 800 尺300步)解析：如图所示，由题意知BCDE5步，BF123步，DG127步，设AHh步，因为BCAH，所以BCFHAF，所以，所以，即HF.因为DEAH，所以GDEGHA，所以，所以，即HG，由题意(HG127)(HF123)1 000，即41 000，h1 255，即AH1 255步答案：1 255三、解答题10(2018泰安模拟)已知下凸函数f(x)在定义域内满足f.若函数ytan x在上是下凸函数，那么在锐角ABC中，求tan Atan Btan C的最小值解析：因为ytan x在上是下凸函数，则(tan Atan Btan C)tantan ，即tan Atan Btan C3，当且仅当tan Atan Btan C，即ABC时，取等号，所以tan Atan Btan C的最小值为3.11在ABC中，边a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足2sin Bsin Asin C，设B的最大值为B0.(1)求B0的值；(2)当BB0，a3，c6，时，求CD的长解析：(1)由题设及正弦定理知，2bac，即b.由余弦定理知，cos B.当且仅当a2c2，即ac时等号成立ycos x在(0，)上单调递减，B的最大值B0.(2)BB0，a3，c6，b3，c2a2b2，即C，A，由，知ADAB2，在ACD中，由余弦定理得CD.12在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，8，BAC，a4.(1)求bc的最大值及的取值范围；(2)求函数f()sin 2cos 21的最大值和最小值解析：(1)由已知得bccos 8，b2c22bccos 42，故b2c232.又b2c22bc，所以bc16(当且仅当bc4时等号成立)，即bc的最大值为16.即16，所以cos .又0，所以0，即的取值范围是.(2)f()sin 2cos 212sin1.因为0，所以2，sin1.当2，即时，f()min212；当2，即时，f()max2113.
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