直线与平面垂直的判定.ppt

2 3直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 1直线与平面垂直的判定 1 下面四个命题 其中真命题的个数是 B 垂直于同一直线的两条直线平行 垂直于同一直线的两个平面平行 平行于同一平面的两个平面平行 平行于同一直线的两条直线平行 B 3个D 1个 A 2个C 4个 解析 正确 2 下列命题 a b表示直线 表示平面 中的真命题是 A 3 下列命题中 假命题是 D A 过一点有一个平面与已知直线垂直B 过一点至多只有一个平面与已知直线垂直C 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直D 过一点可能有两个平面与已知直线垂直 4 直线l和平面 内无数条直线垂直 则 D A l和 相互平行B l和 相互垂直C l在 内D 不确定 解析 直线l和平面 内无数条直线垂直 可能是l l 或l和 相交 也可能垂直 即l和 的位置关系不确定 重点 线面垂直的判定 1 判定直线和平面是否垂直 通常有三种方法 1 定义法 如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直 则直线l与平面 互相垂直 记作l l 平面 的垂线 直线l的垂面 它们的唯一公共点P叫做垂足 线线垂直 线面垂直 2 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则这条直线与该平面垂直 用符号语言表示为 若l m l n m n B m n 则l 3 若两条平行直线中的一条垂直于平面 则另一条也垂直于这个平面 2 根据线面垂直的定义知 线面垂直可以得到大量线线垂直 由线面垂直的判定定理知 要得到线面垂直就需要线线垂直 要深切体会线面垂直与线线垂直的相互转化 3 定理 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 难点 直线与平面所成的角 斜线和平面所成的角 简称 线面角 它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角 求直线和平面所成的角 一般先定斜足 再作垂线找射影 然后通过解直角三角形求解 可以简述为 作 作出线面角 证 证所作为所求 求 解直角三角形 通常 过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段 并连接垂足和斜足是产生线面角的关键 线面垂直判定定理的应用 例1 已知 如图1 空间四边形ABCD中 AB AC DB DC 取BC中点E 连接AE DE 求证 BC 平面AED 图1 证明 AB AC DB DC E为BC中点 AE BC DE BC 又 AE与DE交于E BC 平面AED 由判定定理可知要证明直线垂直平面 只需证明直线与平面内的任意两条相交直线垂直即可 1 2 图2 A SG 平面EFGC GF 平面SEF B SD 平面EFGD GD 平面SEF 解析 在题图 1 中 SG1 G1E SG3 G3F 在题图 2 中 SG GE SG GF SG 平面EFG A 安全文明考试 1 2 如图3 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AC CD E是PC上的任一点 除P和C点外 证明 CD AE 图3 直线与平面所成的角 例2 如图4 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求A1B与平 面A1B1CD所成的角 图4 求直线和平面所成的角时 应注意的问题是 1 先判断直线和平面的位置关系 2 当直线和平面斜交时 常有以下步骤 作 作出或找到斜线与射影所成的角 证 论证所作或找到的角为所求的角 算 常用解三角形的方法求角 结论 说明斜线和平面所成的角值 图5 2 1 如图5 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 A 答案 D 解析 如图22 连接A1C1 则 AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角 图22 证明 PA O所在平面 BC O所在平面 PA BC AB为 O直径 AC BC 又PA AC A BC 平面PAC 又AE 平面PAC BC AE AE PC PC BC C AE 平面PBC 线面垂直判定定理的应用例3 如图6 已知PA O所在平面 AB为 O直径 C是圆周上任一点 过A作AE PC于E 求证 AE 平面PBC 图6 3 1 PA是垂直于以AB为直径的圆所在的平面 C为圆上 B 异于A B的任一点 则下列关系不正确的是 A PA BCB AC PBC BC 平面PACD PC BC 图7 错因剖析 没有正确使用线面垂直的判定定理 例4 如图7 a b 点P在a b所确定的平面外 PA a于点A AB b于点B 求证 PB b 4 1 P为 ABC所在平面外一点 O为P在平面ABC上的 射影 1 若PA PB PC 则O是 ABC的 2 若PA BC PB AC 则O是 ABC的 3 若P到 ABC三边的距离相等 且O在 ABC内部 则 O是 ABC的 4 若PA PB PC两两互相垂直 则O是 ABC的 外心 垂心 内心 垂心 3 如图25 图25 P到 ABC三边的距离分别是PD PE PF 则PD PE PF PO 平面ABC PD PE PF在平面ABC上的射影 分别是OD OE OF OD OE OF 且OD AB OE BC OF AC O是 ABC的内心 故填内心 PO 平面ABC OA是PA在平面ABC上的射影 又 PA PB PA PC PA 平面PBC 又 BC 平面PBC PA BC OA BC 同理可证OB AC O是 ABC的垂心 故填垂心 4 如图26 图26