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22.1椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，2)问题1：若动点P满足PAPB6，设P的坐标为(x，y)，则x，y满足的关系式是什么？提示：由两点间距离公式得6，化简得1.问题2：若动点P满足PCPD6，设P的坐标为(x，y)，则x、y满足什么关系？提示：由两点间距离公式得6， 化简得1.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点坐标(c,0)(0，c)a、b、c的关系c2a2b21标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件a，b，c三者之间a最大，b，c大小不确定，且满足a2b2c2.2两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值当椭圆焦点在x轴上时，含x项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意ab0这个条件待定系数法求椭圆标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，)，；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点思路点拨(1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论也可利用椭圆的一般方程Ax2By21(其中A0，B0，AB)，直接求A，B.(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(，)代入，即可求出a，b，则标准方程易得精解详析(1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得即a24，b28，则a2b0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.一点通求椭圆标准方程的一般步骤为：1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)经过两点P，Q.解：(1)由已知得：c4，a5.b2a2c225169.故所求椭圆方程为1.(2)设椭圆方程为Ax2By21.(A0，B0，AB)由已知得，解得：故所求椭圆方程为1.2求适合下列条件的椭圆的方程(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)椭圆经过点(2,0)和(0,1)，故所求椭圆的标准方程为y21.(2)椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)P(0，10)在椭圆上，a10.又P到它较近的一个焦点的距离等于2，c(10)2，故c8，b2a2c236，所求椭圆的标准方程是1.椭圆标准方程的讨论例2已知方程x2sin y2cos 1(02)表示椭圆(1)若椭圆的焦点在x轴上，求的取值范围(2)若椭圆的焦点在y轴上，求的取值范围思路点拨(1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程(2)对于椭圆方程1(m0，n0，mn)可由m，n的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求的范围精解详析将椭圆方程x2sin y2cos 1(02)化为标准形式为1(02)(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则0，即所以0，即所以3或6a2.答案：(3，)(6，2)4已知方程1表示椭圆，求k的取值范围解：方程1可化为1，由椭圆的标准方程可得得3k5，且k4.所以满足条件的k的取值范围是k|3k0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的对应课时跟踪训练(八) 1若椭圆1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为_解析：由椭圆定义知，a5，P到两个焦点的距离之和为2a10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52椭圆25x216y21的焦点坐标是_解析：椭圆的标准方程为1，故焦点在y轴上，其中a2，b2，所以c2a2b2，故c.所以该椭圆的焦点坐标为.答案：3已知方程(k21)x23y21是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是_解析：方程(k21)x23y21可化为1.由椭圆焦点在y轴上，得解之得k2或kb0)2a26,2c10，a13，c5.b2a2c2144.所求椭圆的标准方程为1.(2)法一：由9x25y245，得1，c2954，所以其焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，2)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)由点M(2，)在椭圆上，所以MF1MF22a，即2a4，所以a2，又c2，所以b2a2c28，所以所求椭圆的标准方程为1.法二：由法一知，椭圆9x25y245的焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，2)，则设所求椭圆方程为1(0)，将M(2，)代入，得1(0)，解得8或2(舍去)所以所求椭圆的标准方程为1.7如图，设点P是圆x2y225上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MDPD，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程解：设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，由已知易得P在圆上，x2(y)225.即轨迹C的方程为1.8已知动圆M过定点A(3,0)，并且内切于定圆B：(x3)2y264，求动圆圆心M的轨迹方程解：设动圆M的半径为r，则|MA|r，|MB|8r，|MA|MB|8，且8|AB|6，动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(3,0)，B(3,0)，且2a8，a4，c3，b2a2c21697.所求动圆圆心M的轨迹方程是1.
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