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课时分层作业 五十六双曲线一、选择题(每小题5分,共25分)1.双曲线-=1的渐近线方程是()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】选C.双曲线-=1 中a=3,b=2,双曲线的渐近线方程为y=x.2.(2018石家庄模拟)若双曲线M:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,P为双曲线M上一点,且|PF1|=15, |PF2|=7, |F1F2|=10,则双曲线M的离心率为()A.3B.2C.D.【解析】选D.P为双曲线M上一点,且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=10,则双曲线的离心率为:e=.3.(2018彭州模拟)设F为双曲线C: -=1(a0,b0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P,Q,若|PQ|=2|QF|, PQF=60,则该双曲线的离心率为()A.B.1+C.2+D.4+2【解析】选B.PQF=60, 因为|PQ|=2|QF|,所以PFQ=90,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q,由对称性可知,四边形F1PFQ为矩形,且|F1F|=2|QF|,|QF1|=|QF|,故e=+1.【变式备选】(2018齐齐哈尔模拟)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,半径为a的圆与双曲线C的某条渐近线交于两点P,Q,若PAQ,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选A.过A作ABPQ,垂足为B,则B为PQ的中点,即PAB,点A到渐近线y=x的距离为:|AB|=,cosPAB,即,得到.所以,e,又e1,所以双曲线C的离心率的取值范围为.4.已知双曲线C:x2-=1,经过点M的直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB的中点,则直线l的方程为()A.8x-y-15=0B.8x+y-17=0C.4x+y-9=0D.4x-y-7=0【解析】选A.设点A,B,则有两式作差得-=0,即直线l的斜率k=8,所以直线l的方程为y-1=8,即8x-y-15=0.【变式备选】已知双曲线C:x2-=1,经过点M的直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB的中点,则直线l的方程为_.【解析】设点A,B,则有两式作差得-=0,即直线l的斜率k=1,所以直线l的方程为y-3=x-1,即y=x+2.答案:y=x+25.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 ()A.5B.5+4C.7D.9【解析】选D.如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0).由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|.由图可得,当A,P,E三点共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|的最小值为9.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为_.【解析】因为e=,F2(5,0),所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以双曲线C的标准方程为-=1.答案:-=1【误区警示】利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线-=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为-=(0).7.已知双曲线经过点,其一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为_.【解析】设双曲线方程为: mx2+ny2=1(mn0,b0)交于A,B两点,且|AB|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线C的离心率.(2)求双曲线C的方程.【解析】(1)设双曲线C:-=1过一、三象限的渐近线l1:-=0的倾斜角为.因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为P,l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行,记l2与y轴的交点为Q.依题意有QPO=POM=OPM=.又l:y=(x-2)的倾斜角为60,则2=60,所以tan 30=.于是e2=1+=1+=,所以e=.(2)由于=,于是设双曲线方程为-=1(k0),即x2-3y2=3k2.将y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中,得x2-33(x-2)2=3k2.化简得到8x2-36x+36+3k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=2=2= =,求得k2=1.故所求双曲线方程为-y2=1.10.已知离心率为的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为2.(1)求椭圆及双曲线的方程.(2)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,在第二象限内取双曲线上一点P,连接BP交椭圆于点M,连接PA并延长交椭圆于点N,若=,求四边形ANBM的面积.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),则根据题意知双曲线的方程为-=1且满足解方程组得所以椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.(2)由(1)得A(-5,0),B(5,0),|AB|=10,设M(x0,y0),则由=得M为BP的中点,所以P点坐标为(2x0-5,2y0).将M,P坐标代入椭圆和双曲线方程,得消去y0,得2-5x0-25=0.解之,得x0=-或x0=5(舍去).所以y0=.由此可得M,所以P(-10,3).当P为(-10,3)时,直线PA的方程是y=(x+5),即y=-(x+5),代入+=1,得2x2+15x+25=0.所以x=-或-5(舍去),所以xN=-,xN=xM,MNx轴.所以S四边形ANBM=2SAMB=210=15.【误区警示】注意区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系.【变式备选】已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程.(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若=,求AOB的面积.【解析】(1)依题意得解得故双曲线的方程为-x2=1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=2x,设A(m,2m),B(-n,2n),其中m0,n0,由=得点P的坐标为.将点P的坐标代入-x2=1,整理得mn=1.设AOB=2,因为tan=2,则tan =,从而sin 2=.又|OA|=m,|OB|=n,所以SAOB=|OA|OB|sin 2=2mn=2.1.(5分)过双曲线-=1(a0,b0)的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM(切点为M),交y轴于点P.若M为线段FP的中点,则双曲线的离心率是()A.B.C.2D.【解析】选A.因为OMPF,且|FM|=|PM|,所以|OP|=|OF|,OFP=45,|OM|=|OF|sin 45,即a=c,所以e=,故选A.【变式备选】已知ABP的顶点A,B分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于()A.B.C.D.【解析】选A.在ABP中,由正弦定理知=.2.(5分)(2018汉阳模拟)已知O为直角坐标系的坐标原点,双曲线C: -=1(ba0)上有一点P(m0),点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点,过点P作双曲线C两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为A, B,若平行四边形PAOB的面积为1,则双曲线的标准方程是()A.x2-=1B.-=1C.x2-=1D.-=1【解析】选A.设平行线方程为y-m=-,由 解得xA=,则|OA|=,又点P到直线y=x的距离d=,所以=1,化简得 =1,又-=15b2-a2m2=a2b2,所以ab=2,又c=,解得a=1,b=2,所以双曲线的标准方程是x2-=1.【变式备选】已知双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.因为圆x2+y2-10x=0的圆心为(5,0),所以c=5,又双曲线的离心率等于,所以a=,b=2.所以双曲线的标准方程为-=1.3.(5分)(2018开封模拟)F1,F2是双曲线C:-=1的两个焦点,点M是双曲线C上一点,且F1MF2=60,则F1MF2的面积为_.【解析】因为F1,F2是双曲线C:-=1的两个焦点,所以m+4=16,所以m=12,设|MF1|=m,|MF2|=n,因为点M是双曲线上一点,且F1MF2=60,所以|m-n|=4,m2+n2-2mncos 60=64,由-2得mn=16,所以F1MF2的面积S=mnsin 60=4.答案:44.(12分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线的方程为y=x,右焦点F到直线x=的距离为.(1)求双曲线C的方程.(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B,D两点,已知A(1,0),若=1,证明:过A,B,D三点的圆与x轴相切.【解析】(1)依题意有=,c-=,因为a2+b2=c2,所以c=2a,所以a=1,c=2,b2=3.故双曲线C的方程为x2-=1.(2)设直线l的方程为y=x+m(m0),B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD的中点为M,由得2x2-2mx-m2-3=0,所以x1+x2=m,x1x2=-,又因为=1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1.所以m=0(舍)或m=2.所以x1+x2=2,x1x2=-,M点的横坐标为=1,因为=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0.所以ADAB,所以过A,B,D三点的圆以点M为圆心,BD为直径,因为点M的横坐标为1,所以MAx轴,所以过A,B,D三点的圆与x轴相切.5.(13分)已知动圆P过点N(2,0)并且与圆M:(x+2)2+y2=4相外切,动圆圆心P的轨迹为W,过点N的直线l与轨迹W交于A,B两点. (1)求轨迹W的方程.(2)若2=,求直线l的方程.(3)对于l的任意一确定的位置,在直线x=上是否存在一点Q,使得=0,并说明理由.【解析】(1)依题意可知|PM|=|PN|+2,所以|PM|-|PN|=20,b0),则a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以轨迹W的方程为x2-=1(x1).(2)当l的斜率不存在时,显然不满足2=,故l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-2),由 得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,又设A(x1,y1),B(x2,y2),则 由解得k23.因为2=,所以2(2-x1,-y1)=(x2-2,y2),所以x2=6-2x1,代入得=6-x1,=x1(6-2x1),消去x1得k2=35,即k=,故所求直线l的方程为y=(x-2).(3)问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线x=有公共点,若直线l的斜率不存在,则以AB为直径的圆为(x-2)2+y2=9,可知其与直线x=相交,若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2),由(2)知k23且x1+x2=,x1x2=,则|AB|=|x1-x2|=,设以AB为直径的圆的圆心为S,点S到直线x=的距离为d,则d=-=-=,所以d-=-=-,因为k23所以d-0,即d,即直线x=与圆S相交.综上所述,以线段AB为直径的圆与直线x=相交,故对于l的任意一确定的位置,在直线x=上存在一点Q,使得=0.
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