2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习学案 苏教版选修1 -2.docx

第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习学习目标1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd0(a，b，c，dR)(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数(5)复数的模：向量的模叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi| (a，bR)2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3).类型一复数的概念例1已知复数za2a6i，分别求出满足下列条件的实数a的值：(1)z是实数；(2)z是虚数解由a2a60，解得a2或a3.由a22a150，解得a5或a3.由a240，解得a2.(1)由a22a150且a240，得a5或a3，当a5或a3时，z为实数(2)由a22a150且a240，得a5且a3且a2，当a5且a3且a2时，z是虚数引申探究本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由解由a2a60，且a22a150，且a240，得a无解，不存在实数a，使z为纯虚数反思与感悟(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据跟踪训练1(1)已知i是虚数单位，若(mi)234i，则实数m的值为_(2)下列说法：复数z是实数的充要条件是z；若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2；实数集是复数集的真子集其中正确说法的个数是_考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(1)2(2)2解析(1)(mi)2(m21)2mi34i，由复数相等得解得m2.(2)设zabi，a，bR，则abi，z时，得b0，z为实数；z为实数则b0，有z成立，所以正确；对于，若x2，则x240，x23x20，此时(x24)(x23x2)i0，不是纯虚数，故错误；显然正确类型二复数的运算例2已知z是复数，z3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)(1)求复数z；(2)求的模解(1)设zabi(a，bR)，z3ia(b3)i为实数，可得b3.又为纯虚数，a1，即z13i.(2)2i，|2i|.反思与感悟复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用跟踪训练2已知z1，z2为复数，(3i)z1为实数，z2，且|z2|5，求z2.解z1z2(2i)，(3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)R，因为|z2|5，所以|z2(55i)|50，所以z2(55i)50，所以z2(55i)类型三复数的几何意义例3(1)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OACB，求顶点C所对应的复数z.(2)已知复数z1，z2满足|z1|3，|z2|5，|z1z2|，求|z1z2|的值解(1)设zxyi，x，yR，则顶点C的坐标为(x，y)如图，因为OABC，所以kOAkBC，OCBA，所以解得或因为OABC，所以舍去，故z5.(2)如图所示，设复数z1，z2的对应点为A，B，以，为邻边作OACB，则对应的复数为z1z2，所以|3，|5，|.所以cosAOB.所以cosOBC，又|3，所以|z1z2|.反思与感悟(1)任意一个复数都对应着一个点和一个向量，因而复数的加减运算可以转化为总的坐标运算或向量运算(2)求复数模可以计算它对应的向量的模，也可以计算它对应的点到原点的距离跟踪训练3已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos2，其中(0，)，设对应的复数为z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线yx上，求的值解(1)由题意得zz2z1cos2sin2(cos21)i12sin2i.(2)由(1)知，点P的坐标为(1，2sin2)由点P在直线yx上，得2sin2，sin2，又(0，)，sin0，因此sin，或.1若复数zcosi(i是虚数单位)是纯虚数，则tan_.答案解析复数zcosi是纯虚数，则tan.2设z，则z的共轭复数为_答案13i解析由z13i，得13i.3若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为_答案解析zi.4若z是复数，且(3z)i1(i为虚数单位)，则z_.答案3i解析z33i.5复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,42i，由ABCD按逆时针顺序作ABCD，则|_.答案解析如图，设D(x，y)，F为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，所以即所以点D对应的复数为z33i.因为，所以表示的复数为33i123i，所以|.1复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现3利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.一、填空题1已知f(x)x31，设i是虚数单位，则复数的虚部是_答案1解析f(i)i31i1，1i，虚部是1.2若复数(aR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a_.答案6解析i.若复数是纯虚数，则0，且0，所以a6.3复数的虚部是_答案解析i，其虚部是.4若复数zi是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为_考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案7解析复数zi是纯虚数，cos0，sin0，cos，sin，tan，则tan7.5若i为虚数单位，则_.答案1i解析1i.6下列说法中正确的是_(填序号)若(2x1)iy(3y)i，其中xR，yCR，则必有2i1i；若一个数是实数，则其虚部不存在；若z，则z31对应的点在复平面内的第一象限考点复数的概念题点复数的概念及分类答案解析由yCR，知y是虚数，则不成立，故错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故错误；实数的虚部为0，故错误；中z311i1，对应点在第一象限，故正确7设复数z满足i(z4)32i(i是虚数单位)，则z的虚部为_答案3解析由i(z4)32i得z44423i463i.8._.答案解析.9已知方程x2(4i)x4ai0(aR)有实根b，且zabi，则复数z_.答案22i解析x2(4i)x4ai0(aR)有实根b，b2(4i)b4ai0，即b24b4(ab)i0.根据复数相等的充要条件，得b24b40且ab0，解得a2，b2，z22i.10设复数z满足|z|1且，则|z|_.答案解析因为，即|z|21|z|，所以|z|.11计算：(12i)(23i)(34i)(45i)(20082009i)(20092010i)(20102011i)_.答案10051005i解析原式(1234200820092010)(2345200920102011)i10051005i.二、解答题12已知复数z1满足z12(1i)i，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2的值解由z12(1i)ii1，z12(i1)i1，z2的虚部为2，可设z2a2i(aR)又z1z2(i1)(a2i)(a2)(2a)i为实数，2a0，即a2，因此z222i.13已知复数z(12i)(2i).(1)计算复数z；(2)若z2(2a1)z(1i)b160，求实数a，b的值解(1)z(12i)(2i)43i43i(2i)62i.(2)(62i)2(2a1)(62i)(1i)b160，3224i6(2a1)2(2a1)ibbi160，2212ab(264ab)i0，解得三、探究与拓展14已知f(x)则f(f(1i)_.答案3解析f(1i)(1i)(1i)2，f(f(1i)f(2)123.15已知1i是方程x2bxc0(b，c为实数)的一个根(1)求b，c的值；(2)试判断1i是不是方程的根解(1)1i是方程x2bxc0的根，且b，c为实数，(1i)2b(1i)c0，即bc(b2)i0，解得(2)由(1)知方程为x22x20，把1i代入方程左边得(1i)22(1i)20，1i也是方程的根