线性代数第四章矩阵的特征值.ppt

第四章矩阵的特征值 第一节矩阵的特征值与特征向量 第三节实对称矩阵的特征值和特征向量 第二节相似矩阵 一矩阵的特征值 二特征值与特征向量的基本性质 第一节矩阵的特征值与特征向量 一 特征值与特征向量的概念 定义4 1 若 则 称为 的特征值 称为 的特征向量 注 并不一定唯一 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 特征向量 特征值问题只针对方阵 有非零解的 值 即满足 的 都是方阵 的特征值 定义4 2设A为n阶矩阵 含有未知量 的矩阵 I A称为A的特征矩阵 其行列式 为 的n次多项式 称为A的特征多项式 称为A的特征方程 求n阶矩阵的特征值和特征向量的步骤 1 由矩阵A的特征方程 求出A的特征值 2 对于矩阵A的不同的特征值 求出 一个基础解系 则 为矩阵A对应特征值 的特征向量 例1 求矩阵的特征值和特征向量 例2 求矩阵的特征值和特征向量 练习 求矩阵的特征值和特征向量 例3 求矩阵的特征值和特征向量 练习 求矩阵的特征值和特征向量 例3 求矩阵的特征值和特征向量 的一个基础解系为 的一个基础解系为 练习 求矩阵B的特征值和特征向量 二 特征值和特征向量的性质 定理4 1n阶矩阵A与它的转置有相同的特征值 有一个成立 则矩阵A的所有特征值的模小于1 即 定理4 2n阶矩阵A aij 若 定理4 3互异特征值对应的特征向量线性无关 对应于特征值的线性无关的特征向量 对应于特征值的线性无关的特征向量 若 为可逆阵 的特征值 则 的一个特征值为 证 阶方阵 的满足 则 的特征值为 或 三阶方阵 的三个特征值为 则 求下列方阵的特征值与特征向量 一相似矩阵及其性质 二n阶矩阵与对角矩阵相似的条件 第二节相似矩阵 可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵 则 定理4 4 1 相似矩阵有相同的特征值 2 相似矩阵有相同的秩 3 相似矩阵的行列式相同 4 相似矩阵同时可逆或者同时不可逆 注 1 任何一个n阶矩阵都有相似矩阵 2 我们赶兴趣的是一个n阶矩阵是否能够相似于一个对角矩阵 3 若不是任何一个矩阵都能相似于一个对角矩阵 矩阵相似于对角矩阵需要什么条件 或者说什么样的矩阵能相似于对角矩阵 定理4 5 阶矩阵 与n阶对角矩阵 相似的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量 二 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件 设存在 可逆 使得 于是有 因为 可逆 故 且 是 的 个线性无关的特征向量 充分性 若 有 个线性无关的特征向量 对应的特征值为 即 令 则P可逆 且 所以 即 与对角矩阵 相似 定理的证明告诉我们 如果 阶矩阵 与对角矩阵 相似 则 的主对角线上的元素就是 的全部特征值 相似矩阵P的列是对应于 对角线上元素的特征向量 推论若 阶矩阵A有n个两两不同的特征值 则 必与对角矩阵 相似 注意 的顺序一致 1 因此 也是不唯一的 推论若 阶矩阵 有n个特征值 则可相似对角化 的任ti重特征值有对应ti个线性无关的特征向量 n阶矩阵A对角化的步骤 1 求出n阶矩阵A的所有特征值 2 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量 特征值和特征向量的对应 若A的特征值的个数小于n 重根按重数计算 则A不与对角矩阵相似 若A有一个t重特征值 对应的特征向量在线性无关的意义下小于t 则A不与对角矩阵相似 3 写出对角矩阵和相似变换矩阵 1 求出n阶矩阵A的所有特征值 2 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量 3 写出对角矩阵和相似变换矩阵 的一个基础解系为 的一个基础解系为 且 第四节实对称矩阵的特征值和特征向量 一内积的定义和性质 三正交向量组 二向量的长度与夹角 四正交矩阵与正交变换 五对称矩阵的相似变换 一 内积的定义与性质 定义4 5 设 维实向量 称实数 为向量 与 的内积 记作 注 内积是向量的一种运算 用矩阵形式表示 有 性质 1 对称性 2 线性性 3 正定性 当且仅当 时 定义4 6对于n维列向量 其长度为 向量长度也叫向量的模或范数 特别地 长度为 的向量称为单位向量 1 正定性 2 齐次性 3 三角不等式 向量长度的性质 4 柯西 施瓦兹 Cauchy Schwarz 不等式 当且仅当 与 的线性相关时 等号成立 注 当 时 由非零向量 得到单位向量 是 的单位向量 称为把 单位化或标准化 的过程 二 正交向量组 定义4 7 注 若 则 与任何向量都正交 定义4 8若向量组中的向量两两正交 且均为非零向量 则这个向量组称为正交向量组 简称正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组 定理4 8正交向量组是线性无关的 证明 若向量组 下面证明 是正交向量组 则对于任意 对于任意的i 即 由i的任意性可得 即正交向量组是线性无关的 施密特 Schmidt 正交化法 设 是线性无关的 把它们化为标准正交 向量组的过程称为标准正交化 这里我们讨论施密特 Schmidt 正交化法 包括正交化和标准化两个过程 1 正交化 令 就得到 的一个标准正交向量组 2 标准化 令 注 上述方法中的两个向量组对任意的 例1 的充要条件是正交 解 所以 成立的充要条件是 即正交 已知三维向量空间中 例2 正交 解 设 则 即 例3 解 设非零向量都于正交 即满足方程 或 其基础解系为 令 1 正交化 令 2 标准化 令 第四章第三节 三 正交矩阵 1 定义 如果 阶矩阵满足 则称 为正交矩阵 正交矩阵的性质 1 正交矩阵行列式为1或者 1 2 若Q为正交矩阵 则Q可逆 且Q 1 QT 3 两个正交矩阵的乘积为正交矩阵 定理4 9设Q为n阶矩阵 则Q为正交矩阵的充要条件为Q的行 列 向量组是单位正交向量组 例 判断下列矩阵是否为正交矩阵 定理4 10对称矩阵的特征值为实数 四 实对称矩阵的特征值和特征向量 定理4 11对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交 结论 若 阶对称阵 的任重特征值对应的线性 无关的特征向量恰有个 定理4 12若 为 阶对称阵 则必有正交矩阵 使得 一般的n阶矩阵不一定相似于对角矩阵 对称矩阵呢 根据上述结论 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵 其具体步骤为 2 1 例求正交矩阵P 使得