资源描述
82.6离散型随机变量的数学期望读教材填要点1离散型随机变量X的数学期望当离散型随机变量X有概率分布piP(Xxj)，j0,1，n，就称E(X)x1p1x2p2xnpn为X的数学期望或均值如果X是从某个总体中随机抽取的个体，X的数学期望E(X)就是总体均值.2数学期望的有关公式(1)若YaXb，a，b为常数，则E(aXb)aE(X)b；(2)当X服从两点分布B(1，p)时，E(X)p；(3)当X服从二项分布B(n，p)时，E(X)np；(4)当X服从超几何分布H(N，M，n)时，E(X)n.小问题大思维1随机变量X的均值E(X)是一个常数还是一个变量？提示：随机变量X是可变的，可以取不同的值，而数学期望(或均值)是不变的，它描述X取值的平均水平，由X的分布列唯一确定2若c为常数，则E(c)为何值？提示：由离散型随机变量的均值的性质E(aXb)aE(X)b可知，若a0，则E(b)b，即若c为常数，则E(c)c.3E(X)与X的单位是否一致？提示：E(X)表示随机变量X的平均值，因此E(X)与X的单位是一致的离散型随机变量的数学期望例1为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(1)顾客所获的奖励额为60元的概率；(2)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；解设顾客所获的奖励额为X.(1)依题意，得P(X60)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.(2)依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X60)，P(X20)，即X的分布列为X2060P所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)206040(元)解决此类问题的一般步骤为：明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；求出随机变量取各个值的概率；列出概率分布；利用均值公式进行计算1端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上知，X的分布列为X012P故E(X)012.2某运动员投篮命中率为p0.6.(1)求一次投篮时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望解：(1)投篮一次，命中次数X的概率分布为：X01P0.40.6则E(X)p0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即YB(5,0.6)则E(Y)np50.63.均值性质的应用例2已知随机变量X的概率分布为：X21012Pm(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y2X3，求E(Y)解(1)由随机变量概率分布的性质，m1，解得m.(2)E(X)(2)(1)012.(3)法一：由公式E(aXb)aE(X)b，得E(Y)E(2X3)2E(X)323.法二：由于Y2X3，所以Y的概率分布为：Y75311P所以E(Y)(7)(5)(3)(1)1.保持例题条件不变，若YaX3，且E(Y)，求a的值解：E(Y)E(aX3)aE(X)3a3，a15.求均值的关键是求出概率分布，只要求出随机变量的概率分布，就可以套用均值的公式求解，对于aXb型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aXb的概率分布，再用定义求解3随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(Xk)akb(k1,2,3,4)又X的数学期望E(X)3，求E(aXb)的值解：由已知得(a1b)(a2b)(a3b)(a4b)1，即10a4b1.又E(X)3，故(ab)1(2ab)2(3ab)3(4ab)43，即30a10b3.联立，解得b0，a，E(aXb)aE(X)bE(X)30.3.离散型随机变量的均值的实际应用例3某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元Y表示经销一件该商品的利润(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求Y的分布列及均值E(Y)解(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”P()(10.4)30.216，P(A)1P()10.2160.784.(2)Y的可能取值为200元，250元，300元P(Y200)P(X1)0.4，P(Y250)P(X2)P(X3)0.20.20.4，P(Y300)P(X4)P(X5)0.10.10.2，因此Y的分布列为Y200250300P0.40.40.2E(Y)2000.42500.43000.2240(元)处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并求出随机变量的概率分布，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值4某游戏射击场规定：每次游戏射击5发子弹；5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元现有一游客，其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值解：(1)设5发子弹命中X(X0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P(X5)C5.(2)X的分布列为X012345P设游客在一次游戏中获得奖金为Y元，于是Y的分布列为Y2040P故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为E(Y)(2)0400.375(元).解题高手妙解题某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少(总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的均匀值)尝试 巧思用数学期望确定三种预防方案哪种使用总费用最少，分别求出单独采用甲措施，单独采用乙措施，联合采用甲乙措施的总费用，然后选取最小者即可妙解不采取预防措施时，总费用损失期望值为4000.3120(万元)；若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为10.90.1，损失期望值为4000.140(万元)，所以总费用为454085(万元)若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为10.850.15，损失均匀值为4000.1560(万元)，所以总费用306090(万元)若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用453075(万元)，发生突发事件的概率为(10.9)(10.85)0.015，损失均值为4000.0156(万元)，所示总费用为75681(万元)综合，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少1随机变量次品数X的概率分布为：X024P0.40.30.3则E(5X4)等于()A13B11C2.2D2.3解析：选AE(X)00.420.340.31.8，E(5X4)5E(X)451.8413.2口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()A. B. C2 D.解析：选DX2,3.P(X2)，P(X3).E(X)23.3一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X的均值为()A0.8 B0.83 C3 D2.4解析：选D射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即XB(3,0.8)，E(X)30.82.4.4某人共有5发子弹，他射击一次命中目标的概率为，击中目标射击停止，射击次数X为随机变量，则E(X)_.解析：由题易知，X的概率分布为：X12345P可知E(X)12345.答案：5.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)等于()A. B.C. D.解析：选B由题意X可取0,1,2,3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故E(X)23.6根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求X的期望解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买(1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB，P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8.(2)D，P(D)1P(C)10.80.2，XB(100,0.2)，即X服从二项分布，所以期望E(X)1000.220.一、选择题1已知XB，YB.且E(X)15，则E(Y)等于()A5B10C15 D20解析：选B因为XB，所以E(X)，又E(X)15，则n30.所以YB，故E(Y)3010.2已知随机变量X的概率分布为：X4a910P0.30.1b0.2E(X)7.5，则a等于()A5B6C7D8解析：选CE(X)40.30.1a9b27.5，030.1b0.21，a7，b0.4.3袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X表示取出的红球数，则E(X)为()A. B. C. D.解析：选B随机变量X的取值分别为0,1,2,3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，E(X)0123.4节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是()X200300400500P0.200.350.300.15A706元 B690元C754元 D720元解析：选A节日期间这种鲜花需求量的均值为E(X)2000.203000.354000.305000.15340(束)设利润为Y，则Y5X1.6(500X)5002.53.4X450，所以E(Y)3.4E(X)4503.4340450706(元)二、填空题5若随机变量XB(40，p)，且E(X)16，则p_.解析：E(X)16，40p16，p0.4.答案：0.46同时抛掷2枚均匀的硬币100次，设两枚硬币都出现正面的次数为X，则E(X)_.解析：掷两枚均匀的硬币，两枚硬币都出现正面的概率为p，所以XB.故E(X)np10025.答案：257某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.解析：P(X0)(1p)2，p，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X0)，P(X1)222，P(X2)222，P(X3)2，因此E(X)123.答案：8有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是_解析：X的取值为6,9,12，相应的概率为P(X6)，P(X9)，P(X12)，E(X)69127.8.答案：7.8三、解答题9某小组共10人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望解：(1)由已知，有P(A).所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以随机变量X的分布列为X012P随机变量X的数学期望E(X)0121.10已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列解：(1)记“每一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400PE(X)200300400350.
展开阅读全文