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2018-2019学年高一数学下学期期中试题 (II)本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 90 分 钟。第 I 卷1页，第 II 卷至 2 页。考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无 效。一选择题1.以下说法正确的有几个（） 四边形确定一个平面；如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A 0 个B1 个C 2 个D 3 个2.在 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 a cos B = ( 2c - b) cos A ，则角 A 的大小为（）p p p pABCD6432uuur uuur3.在 DABC 中，若 AB AC = 2 且 BAC = 30o ，则 DABC 的面积为（）A 3B 2 3C 33D 2 334.设 a、b、g 为平面，为 m、n、l 直线，则下列判断正确的是（）A若 a b ,a b = l, m l ，则 m bB若 a g = m,a g , b g ，则 m bC若 a g , b g , m a ，则 m bD若 n a , n b , m a ，则 m bA 13B 23C 43D 2uuur uuur6点 G 为 DABC 的重心， AB = 2, BC = 1, ABC = 60o ，则 AG CG = （）A - 59B - 98C 59D 197.在正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中，点 O 是正方形 ABCD 的中心，关于直线 A1O 下列说法正确的（）A A1O / / D1C B A1O / / 平面 B1CD1C A1O BCD A1O 平面 AB1 D18.一个圆锥 SC 的高和底面直径相等,且这个圆锥 SC 和圆柱 OM 的底面半径及体积也都相等,则圆锥 SC 和圆柱 OM 的侧面积的比值为（）2B2C35D4 523415A 31 1 1 1 119.平行六面体 ABCD - A B C D 的底面 ABCD 是菱形，且 C CB = C CD = BCD = 60o ，CD = 2, C C = 3 ，则二面角 C- BD - C 的平面角的余弦值为（）1 21A 12B 13C 23D 3310如图，在 DABC 的边 AB、AC 上分别取点 M 、N ，使uuuuruuur uuuruuuruuuruuur uuuuruuurAM = 1 AB, AN = 1 AC ， BN 与 CM 交于点 P ，若 BP = l PN , PM = mCP ，32则 l 的值为（）mA 83B 38C 16D 6二填空题r rr r r r r r11已知向量 a, b 满足 | a |= 1 ,| b |= 2 ， | a + b |=5 ，则 | 2a - b |= 12 如图， PA 平面ABC ， ACB = 90o 且PA = AC，AC = 2BC ，则异面直线 PB 与 AC 所成的角的正切值等于 13.如图,在直棱柱 ABC - A1 B1C1 中, AB AC , AB = AC = AA1 = 2 , 则二面角A1 - BC1 - C 的平面角的正弦值为 14.在 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为a、b、c , 2b(2b - c) cos A = a2 + b2 - c2 ，则内角 A 的值为 15.已知正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 的棱长为1 ，点 E 是棱 BB1 的中点，则点 B1 到平面 ADE 的距离为 16.如图，在直角梯形 ABCD 中， BAD = p ， AB = AD = 2 ，若 M 、N3uuuuruuuruuur uuur分别是边 AD、BC 上的动点，满足 AM = l AD ， BN = (1 - l )BC ，其中uuur uuuurl (0,1) ，若 AN BM = -2 ，则 l 的值为 D CMN ABur rur 3a 1 r a a17. 设 f (a ) = m n ,其中向量 m = (cos, ), n = (2 sin, cos24 242- 1) .（1）若 f (a ) = -1 ,求 cos( p - a ) 的值；3 2（2）在 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a cos B + b cos A + 2c cos C = 0 ,求函数 f ( A) 的取值范围.18. 如图，在几何体中，四边形 ABCD 是菱形， ADNM 是矩形，平面 ADNM 平面 ABCD , E 为AB 中点.（1）求证： AN / / 平面 MEC ；（2）求证： AC BN .19 如图 1 所示，在矩形 ABCD 中， AB = 2 AD = 4 ， E 为 CD 的中点，沿 AE 将 DAED 折起，如图 2 所示， O、H、M 分别为 AE、BD、AB 的中点，且 DM = 2 .（1）求证： OH / / 平面 DEC ；（2）求证：平面 ADE 平面 ABCE .20.如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是菱形， PO 底面 ABCD ，O、E 分别是 AD、AB 的中点， AB = 6, AP = 5 ， BAD = 60o .（1）求证：平面 PAC 平面 POE ；（2）求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值；（3）若 F 是边 DC 的中点，求异面直线 BF 与 PA 所成角的正切值。一 1.B2. B3. C4. D5 B6 A7. B8. C9. D10 D二11 2 212.5213.3214. 60o15.5516. 23三17.（1） f (a ) = sin(a + p ) - 1262 cos( p - a ) = - 1322（2） C = 2p3f ( A) = sin( A + p ) - 1262A + p (p , p )266 3f ( A) (0,3 - 1)2（1）证明：连接 BN （如图），使得 BN CM = H易证 EH / / ANAN 平面 MEC EH 平面 MEC AN / / 平面 MEC（2）证明：Q ABCD 是菱形AC BD平面 ADNM 平面 ABCD平面 ADNM 平面 ABCD = ADADNM 是矩形ND ADND 平面 ADNM ND 平面 ABCDAC NDBD ND = DBD, ND 平面 NDB AC 平面 NDB AC BN易证 OQ / 平面 DECHQ / / 平面 DECOQ, HQ 平面 OHQOQ HQ = Q 平面 DEC / / 平面 OHQOH 平面 OHQ OH / / 平面 DEC（2）证明：连接 OD, OMQ DA = DE, O 为 AE 中点 DO AEQ DO2 + OM 2 = DM 2 DO OMAE, OM 平面 ABCEAE OM = O OD 平面 ABCEOD 平面 ADE 平面 ADE 平面 ABCE（1）证明： ABCD 是菱形AC BD ， OE / / BDOE ACPO 底面 ABCDPO ACOE, OP 平面 POEOE OP = O AC 平面 POEAC 平面 PAC 平面 PAC 平面 POE（2）过点 B 作 BM OE 于 M ， 易证 PO BMOE, OP 平面 POEOE OP = O BM 平面 POE PM 是 PB 在平面 POE 上的射影BPM 即为所求在 RtDPMB 中， BM = 3 3 , PB = 432sin BPM = BM = 3 129PB86易证 DH / / BF ,TH / / PADHT 即为异面直线 BF 与 PA 所成角或其补角在 DDHT 中， DH = 3 3, HT = 5 , DT =7922 cos DHT = 3 310 tan DHT =2199
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