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第八节 第二课时 最值、范围、证明问题课时作业A组基础对点练1已知椭圆C1：1(ab0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程；(2)设点P在抛物线C2：yx2h(hR)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值解析：(1)由题意，得从而因此，所求的椭圆C1的方程为x21.(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y|xt2t.直线MN的方程为：y2txt2h.将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2(2txt2h)240，即4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以式中的116t42(h2)t2h240.设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3.设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4.由题意，得x3x4，即t2(1h)t10.由式中的2(1h)240，得h1，或h3.当h3时，h20,4h2b0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解析：(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.3.如图，在矩形ABCD中，|AB|4，|AD|2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足，直线AQ与BP的交点在椭圆E：1(ab0)上(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值解析：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(2，y1)，Q(x1,2)，由题可知，从而有，整理得y21，即为椭圆E的方程(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0，从而梯形ORMN的面积S(2x0)y0，令t2x0，则2t0，u4t3t4单调递增，当t(3,4)时，ub0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使AEB90，求直线l的斜率k的取值范围解析：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有：解得：a，c，b21，故椭圆C的方程为x21.(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，将直线l：ykx2代入x21，得(3k2)x24kx10，12k212，x0，y0kx02，|AB| ，解得：k413，即k或k.B组能力提升练1(2018武汉市模拟)已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，直线x4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2(y1)21相交于B，C两点(A，B两点相邻)，过A，D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求ABM与CDM的面积之积的最小值解析：(1)由已知得F(0，)，P(4,0)，Q(4，)，|QF|，|PQ|，因为|QF|PQ|，所以，解得p2或p2(舍去)，所以抛物线的方程为x24y.(2)设l：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程，得消去y，得x24kx40，所以x1x24k，x1x24.由y，得y.所以直线MA：y(xx1)，即yx.同理可求得直线MD：yx.联立方程，得解得M(2k，1)所以点M到l的距离d2.所以SABMSCDM|AB|CD|d2(|AF|1)(|DF|1)d2y1y2d2d21k21，当且仅当k0时取等号所以当k0时，ABM与CDM面积之积的最小值为1.2已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解析：(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得：a，c2，又a2b2c2，得b21，双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k21且k2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1x2，x0，y0kx0m.由题意，ABMN，kAB(k0，m0)整理得3k24m1，将代入，得m24m0，m4.又3k24m10(k0)，即m.m的取值范围是(4，)3已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解析：(1)由已知，有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c,0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有()2()2()2，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为(c，c)由|FM| ，解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t ，解得x1，或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x(，1)时，有yt(x1)0，于是m ，得m(，)当x(1,0)时，有yt(x1)0.因此m1)，设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上(1)求点M的轨迹E的方程；(2)延长MC交曲线E于另一点N，曲线E在点N处的切线与直线AM交于点B，试判断以点B为圆心，线段BC的长为半径的圆与直线MN的位置关系，并证明你的结论解析：(1)设M(x，y)，x0，由题意可知，A(1r,0)，记AM的中点为D，则D(0，)，因为C(1,0)，(1，)，(x，)在C中，易知CDDM，所以0，所以x0，即y24x(x0)，所以点M的轨迹E的方程为y24x(x0)(2)B与直线MN相切证明如下：设直线MN的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线BN的方程为yk(x)y2.联立，得消去x，得y24my40，所以y1y24m，y1y24.r1x1，则点A(x1,0)，所以直线AM的方程为yx.联立，得消去x，得ky24y4y2ky0，由0，可得k，所以直线BN的方程为yx.联立，得解得xB1，yB2m，所以点B(1,2m)，|BC|，点B到直线MN的距离d|BC|，所以B与直线MN相切
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