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第二课时利用导数研究函数的极值与最值【选题明细表】知识点、方法题号利用导数研究函数极值1,3,4,8,9,10利用导数研究函数最值2,5,7,12利用导数研究函数极值、最值的综合应用6,11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.若函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示.则(C)(A)1是最小值点(B)0是极小值点(C)2是极小值点(D)函数f(x)在(1,2)上单调递增解析:由题干图象得f(x)在(-,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+)上递增,所以2是极小值点,故选C.2.函数y=xe-x,x0,4的最小值为(A)(A)0(B)(C)(D)解析:f(x)=,当x0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,当x(1,4时,f(x)0,所以当x=0时,f(x)有最小值,且最小值为0.故选A.3.(2017湖南永州二模)函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则a的值为(C)(A)-1(B)0(C)1(D)e解析:f(x)=aex-cos x,若函数f(x)= aex-sin x在x=0处有极值,则f(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意,故选C.4.(2017四川达州模拟)函数f(x)=x3+x2+5ax-1存在极值点的充要条件是(C)(A)a(B)a解析:求得导函数f(x)=3x2+2x+5a,三次函数f(x)有极值,则f(x)=0有不相等的两个解,所以=4-60a0,所以a0,函数为增函数;当x(-3,0)时,f(x)0,函数为减函数;由f(-4)=14,f(-3)=25,f(0)=-2,f(2)=50,故函数f(x)=2x3+9x2-2在区间-4,2上的最大值和最小值分别为50,-2,故选C.6.(2017泉州一模)函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2(0x1)在x=1处取得最小值,则实数a的取值范围是(C)(A)a0(B)0a(C)a(D)a1解析:f(x)=3ax2+2(a-1)x-1,x0,1,a=0时,f(x)=-2x-10,x1=,x2=,a0时,若f(x)在x=1处取最小值,只需x10且x21,解得0a,a0时,若f(x)在x=1处取最小值,只需x11或x20,解得a0,解得x1,令f(x)0,解得10,所以(2a)2- 43(a+6)0,解得a6.故选D.10.(2017全国卷)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(A)(A)-1 (B)-2e-3 (C)5e-3 (D)1解析:f(x)=x2+(a+2)x+a-1ex-1则f(-2)=4-2(a+2)+a-1e-3=0得a=-1,则f(x)=(x2-x-1)ex-1,f(x)= (x2+x-2)ex-1,令f(x)=0,得x=-2或x=1,当x1时,f(x)0,当-2x1时,f(x)0,则f(x)极小值为f(1)=-1.故选A.11.导学号 38486067(2017福建泉州一模)关于x的方程xln x-kx+1=0在区间,e上有两个不等实根,则实数k的取值范围是.解析:关于x的方程xln x-kx+1=0,即ln x+=k,令函数f(x)=ln x+,若方程xln x-kx+1=0在区间,e上有两个不等实根,即函数f(x)=ln x+,与y=k在区间,e上有两个不相同的交点,f(x)= -,令-=0可得x=1,当x,1)时f(x)0,函数是增函数,函数的最小值为f(1)=1,F()=-1+e,f(e)=1+.函数的最大值为-1+e.因为关于x的方程xln x-kx+1=0在区间,e上有两个不等实根,则实数k的取值范围是(1,1+.答案:(1,1+12.(2017河南洛阳三模)已知函数f(x)=aln 2x+bx在x=1处取得最大值ln 2-1,则a= ,b= .解析:求导得f(x)= +b,函数f(x)=aln 2x+bx在x=1处取得最大值ln 2-1,则f(1)=0且f(1)=ln 2-1,即解得答案:1-113.(2018吉林白山市模拟)设函数f(x)=ex-2ax,xR.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)在(1)的条件下,求证:f(x)0;(3)当a时,求函数f(x)在0,2a上的最小值和最大值.(1)解:当a=1时,f(x)=ex-2x,f(0)=1,故切点坐标为(0,1).f(x)=ex-2,故切线的斜率k=f(0)=-1.所以切线的方程为y-1=-x,即x+y-1=0.(2)证明:在(1)的条件下,令f(x)=0,则x=ln 2,当xln 2时,f(x)ln 2时,f(x)0,此时函数为增函数;故当x=ln 2时,函数取最小值2-2ln 2,因为2-2ln 20,故f(x)0恒成立.(3)解:由于f(x)=ex-2ax,f(x)=ex-2a,令f(x)=0,解得x=ln 2a0,当a,令M(a)=2a-ln 2a,M(a)=2-=0,所以M(a)在(,+)上递增,又因为M()=1-ln 1=1,所以M(a)=2a-ln 2a0恒成立,即有a,2aln 2a.所以当0xln 2a时,f(x)0,f(x)单调递减,当ln 2a0,f(x)单调递增.即有x=ln 2a处f(x)取得最小值2a(1-ln 2a);又因为f(0)=e0-0=1,f(2a)=e2a-4a2,令h(a)=f(2a)-f(0)=e2a-4a2-1,a时,h(a)=2e2a-8a0,h()=e-1-1=e-20,所以h(a)=e2a-4a2-1h()0,所以当a时,f(2a)f(0),则有当a时,f(x)在0,2a上的最大值为e2a-4a2.14.已知f(x)=xex-ax2-x.(1)若f(x)在(-,-1上单调递增,-1,0上单调递减,求f(x)的极小值;(2)当x0时,恒有f(x)0,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(x)在(-,-1上单调递增,-1,0上单调递减,所以 f(-1)=0.因为f(x)=(x+1)ex-2ax-1,所以2a-1=0,a=.所以f(x)=(x+1)ex-x-1=(x+1)(ex-1),所以f(x)在(-,-1上单调递增,-1,0上单调递减,0,+)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(0)=0.(2)f(x)=x(ex-ax-1),令g(x)=ex-ax-1,则g(x)=ex-a.若a1,则x(0,+)时,g(x)0,g(x)为增函数,而g(0)=0,所以当x0时,g(x)0,从而f(x)0.若a1,则x(0,ln a)时,g(x)0,g(x)为减函数,g(0)=0,故x(0,ln a)时,g(x)0,从而f(x)0,不符合题意.综上,实数a的取值范围是(-,1.
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