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第四章态和力学量表象 1态的表象 2算符的矩阵表示 3量子力学公式的矩阵表述 4Dirac符号 5线性谐振子与占有数表象 6么正变换矩阵 1 2 3 4 5 6 返回 一 动量表象 二 力学量表象 三 讨论 1态的表象 返回 到目前为止 体系的状态都用坐标 x y z 的函数表示 也就是说描写状态的波函数是坐标的函数 力学量则用作用于坐标函数的算符表示 但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的 这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样 坐标系有直角坐标系 球坐标系 柱坐标系等 但它们对空间的描写是完全是等价的 波函数也可以选用其它变量的函数 力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符 表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 以前采用的是坐标表象 下面我们要介绍其他表象 在坐标表象中 体系的状态用波函数 x t 描写 这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍 展开系数 假设 x t 是归一化波函数 则C p t 也是归一 命题 证 一 动量表象 C p t 2dp是在 x t 所描写的状态中 测量粒子的动量所得结果在p p dp范围内的几率 x t 2dx是在 x t 所描写的状态中 测量粒子的位置所得结果在x x dx范围内的几率 x t 与C p t 一一对应 描述同一状态 x t 是该状态在坐标表象中的波函数 而C p t 就是该状态在动量表象中的波函数 C p t 物理意义 若 x t 描写的态是具有确定动量的自由粒子态 即 则相应动量表象中的波函数 所以 在动量表象中 具有确定动量p 的粒子的波函数是以动量p为变量的 函数 换言之 动量本征函数在自身表象中是一个 函数 x在自身表象即坐标表象中对应有确定值x 本征函数是 x x 同样 这可由本征值方程看出 那末 在任一力学量Q表象中 x t 所描写的态又如何表示呢 推广上述讨论 x p都是力学量 分别对应有坐标表象和动量表象 因此可以对任何力学量Q都建立一种表象 称为力学量Q表象 问题 1 具有分立本征值的情况 2 含有连续本征值情况 二 力学量表象 1 具有分立本征值的情况 设算符Q的本征值为 Q1 Q2 Qn 相应本征函数为 u1 x u2 x un x 将 x t 按Q的本征函数展开 若 un都是归一化的 则an t 也是归一化的 证 由此可知 an 2表示在 x t 所描述的状态中测量Q得Qn的几率 a1 t a2 t an t 就是 x t 所描写状态在Q表象中的表示 写成矩阵形式 共轭矩阵 归一化可写为 2 含有连续本征值情况 例如氢原子能量就是这样一种力学量 即有分立也有连续本征值 设力学量Q的本征值和本征函数分别为 Q1 Q2 Qn q u1 x u2 x un x uq x 则 归一化则变为 an t 2是在 x t 态中测量力学量Q所得结果为Qn的几率 aq t 2dq是在 x t 态中测量力学量Q所得结果在q q dq之间的几率 在这样的表象中 仍可以用一个列矩阵表示 归一化仍可表为 1 这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样 矢量A在直角坐标系由三分量AxAyAz描述 在球坐标系用三分量ArA A 描述 AxAyAz和Ar A A 形式不同 但描写同一矢量A 态矢量 基本矢量 同一状态可以在不同表象用波函数描写 表象不同 波函数的形式也不同 但是它们描写同一状态 三 讨论 波函数 是态矢量 在Q表象中沿各基矢方向上的 分量 Q表象的基矢有无限多个 所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间 称为Hilbert空间 所以我们可以把状态 看成是一个矢量 态矢量 选取一个特定力学量Q表象 相当于选取特定的坐标系 u1 x u2 x un x 是Q表象的基本矢量简称基矢 一 力学量算符的矩阵表示 二 Q表象中力学量算符F的性质 三 Q有连续本征值的情况 算符的矩阵表示 返回 坐标表象 Q表象 假设只有分立本征值 将 按 un x 展开 两边左乘u n x 并对x积分 Q表象的表达方式 一 力学量算符的矩阵表示 Q表象的表达方式 F在Q表象中是一个矩阵 Fnm是其矩阵元 F 简写成 写成矩阵形式 不难证明 补充 角动量升降阶算符 I 定义 显然有如下性质 所以 这两个算符不是厄密算符 II 对易关系 不难证明 可见 L Ylm 也是Lz与L2的共同本征函数 对应本征值分别为 m 1 和l l 1 2 III 证明 证 将Eq 1 作用于Ylm得 将Eq 2 作用于Ylm得 由于相应于这些本征值的本征函数是Yl m 1所以 L Ylm与Yl m 1二者仅差一个常数 即 求 常系数alm blm 首先对式左边积分并注意L L 再计算式右积分 比较二式 由 4 式 写成矩阵 例1 求Lx在L2 Lz共同表象 1时的矩阵表示 令 u1 Y11u2 Y10 u3 Y1 1 Lx矩阵是3 3矩阵 计算中使用了公式 由此得Lx矩阵元 Lx 11 Lx 22 Lx 33 0 Lx 13 Lx 31 0 Lx 12 Lx 21 Lx 23 Lx 32 21 2 Lz在自身表象中具有最简单形式 是一个对角矩阵 对角元素就是Lz的本征值 同理可得LyLz 则Lx的矩阵元可如下计算 1 力学量算符用厄密矩阵表示 所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵 例2 在例1中给出了Lx Ly在L2 Lz表象中的矩阵形式 下面我们验证一下这两个矩阵是厄密矩阵 二 Q表象中力学量算符F的性质 2 力学量算符在自身表象中的形式 Q的矩阵形式 结论 算符在自身表象中是一对角矩阵 对角元素就是算符的本征值 1 只有连续本征值 如果Q只有连续本征值q 上面的讨论仍然适用 只需将u a b的角标从可数的n m换成连续变化的q 求和换成积分 见下表 算符F在Q表象仍是一个矩阵 矩阵元由下式确定 只是该矩阵的行列是不是可数的 而是用连续下标表示 三 Q有连续本征值的情况 例3 求坐标表象中F的矩阵元 例4 求动量表象中F的矩阵元 要计算此积分 需要知道F的具体形式 一 平均值公式 二 本征方程 三 Schrodinger方程的矩阵形式 返回 3量子力学公式的矩阵表述 坐标表象平均值公式 在Q表象中 式右写成矩阵相乘形式 简写成 一 平均值公式 写成矩阵形式 表成显式 整理改写 上式是一个齐次线性方程组 方程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零 久期方程 求解此久期方程得到一组 值 1 2 n 就是F的本征值 将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各 i的本征矢 于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题 二 本征方程 例1 本征函数um x 在自身表象中的矩阵表示 同样将um x 按 的本征函数展开 显然有 所以um x 在自身表象中的矩阵表示如下 例如 L2 Lz的共同本征函数Y11 Y10 Y1 1 在L2 Lz的共同表象中的矩阵形式就特别简单 例2 求Lx本征态在Lz表象中的矩阵表示 只讨论 1 情况 Lx的本征方程为 解 欲得a1 a2 a3不全为零的解 必须要求系数行列式等于零 2 2 0 解得本征值 0 取 代入本征方程得 解得 a1 1 21 2 a2a3 1 21 2 a2 由归一化条件定a2 为简单计取实数 同理得另外两个本征值相应本征函数 则 1 Lx 的本征态可记为 写到Q表象 按力学量算符Q的本征函数展开 左乘um t 对x整个空间积分 H都是矩阵 简写 三 Schrodinger方程的矩阵形式 例题 4 2 求一维无限深势 0 a 中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元 解 在势阱 0 a 中能量算符的本征函数为 在能量表象中 则有 作业 周世勋 量子力学教程 4 1 4 3 4 4 4Dirac符号 一 引 二 态矢量 三 算符 四 总结 返回 前几章给出的都是X 表象中的形式 本章中给出了任一力学量Q 表象中的形式 它们都是取定了某一具体的力学量空间 即某一具体的力学量表象 量子描述除了使用具体表象外 也可以不取定表象 正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A来表示一个矢量 而不用具体坐标系中的分量 Ax Ay Az 表示一样 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律 这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的 所以该方法所使用的符号称为Dirac符号 一 引 1 右矢空间 前面已经讲过 一个状态通过一组力学量完全集的测量 完全测量 来确定 通常用所测得的力学量的量子数来确定 例如 一维线性谐振子其状态由量子数n确定 记为 n x 氢原子的状态由量子数n l m确定 记为 nlm r 如此等等 在抽象表象中Dirac用右矢空间的一个矢量 与量子状态相对应 该矢量称为右矢 n n x n l m nlm状态 n 和 n l m 亦可分别记成 n 和 nlm 对力学量的本征态可表示为 x p Qn 等 因为力学量本征态构成完备系 所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢 或基组 即右矢空间中的完备的基本矢量 简称基矢 右矢空间的任一矢量 可按该空间的某一完备基矢展开 例如 二 态矢量 2 左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量 记为 例如 Dirac符号 右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间 称为伴矢量 p x Qn 组成左矢空间的完备基组 任一左矢量可按其展开 即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开 3 伴矢量 和 的关系 按Q的右基矢 Qn 展开 a1 Q1 a2 Q2 an Qn 展开系数即相当于Q表象中的表示 按Q的左基矢 Qn 展开 a 1 Q1 a 2 Q2 a n Qn 展开系数即相当于Q表象中的表示 a 1 a 2 a n 同理某一左矢量和 的标积为 显然 这就是用Dirac表示的波函数归一化条件 由标积定义得 本征态的正交归一化条件可写为 由此可以看出 和 的关系 1 在同一确定表象中 各分量互为复共轭 2 由于二者属于不同空间所以它们不能相加 只有同一空间的矢量才能相加 3 右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算 其结果为一复数 4 本征函数的封闭性 展开式 两边左乘 Qm 得 将an代回原式得 因为 是任意态矢量 所以 成立 本征矢 Qn 的封闭性 I分立谱 对于连续谱 q q取连续值 任一状态 展开式为 II连续谱 左乘 q 代入原式 因为 是任意态矢 所以有 同理 对于 x 和 p 分别有 这就是连续本征值的本征矢的封闭性 由于 所以它们也称为单位算符 在运算中可插入 乘到 公式任何地方而不改变原公式的正确性 例如 在 左侧插入算符 同理 即得态矢按各种力学量本征矢的展开式 投影算符 Qn 上 相当于把 投影到右基矢 Qn 或 q 上 即作用的结果只是留下了该态矢在 Qn 上的分量或 故称 Qn q 为投影算符 因为 在X表象的表示是 x t 所以显然有 封闭性在X表象中的表示 左乘 正交归一性的表示式是对坐标的积分 封闭性表示式是对本征值求和或积分 所以 我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的 它来自于本征函数的完备性 也是本征函数完备性的表示 分立谱 连续谱 封闭性与正交归一性比较 在形式上二者相似 区别 1 右矢空间 在抽象的Dirac表象 Dirac符号的特点是简单灵活 如果欲把上式写至Q表象 则只需在适当位置插入单位算符 左乘 Qm 把公式变到Q表象 算符F在Q表象中的矩阵表示的矩阵元Fmn 写成矩阵形式 F Q表象 X表象 三 算符 平均值公式 插入单位算符 2 共轭式 左矢空间 表明量子力学中的力学量既可以向右作用到右矢量上 也可以向左作用到左矢量上 若F是厄密算符 例 力学量算符x在动量中的形式 左乘 p 代回原式 故坐标算符x在动量表象中取如下形式 1 X表象描述与Dirac符号 四 总结 2 左右矢空间的对应关系 左矢空间右矢空间 3 厄密共轭规则 由常量C 左矢 右矢和算符组成的表示式 求其厄密共轭式的表示规则 1 把全部次序整个颠倒 2 作如下代换 常量CC 例如 一 算符a a N 二 占有数表象 返回 5线性谐振子与占有数表象 本节我们从新的角度讨论这一问题 引进占有数表象 2 定义新算符a a N 令 证明二者满足如下对易关系 一 算符a a N 1 坐标表象下的线性谐振子 证 证毕 3 用算符a a 表示振子Hamilton量 由a a 定义式将算符x p用新算符a a 表示出来 代入振子Hamilton量 2 4 a a N的物理意义 I a a 的物理意义 将a作用在能量本征态 n x 上 由 n的递推公式 用Dirac符号表示 其中 n n 1 n 1 等都是H的本征基矢 En En 1 En 1 是相应本征值 因为振子能量只能以 为单位变化 所以 能量单位可以看成是一个粒子 称为 声子 状态 n 表示体系在此态中有n个粒子 声子 称为n个声子态 粒子湮灭算符 粒子产生算符 显然有 振子基态的基矢 用产生算符a 表示的振子基矢 II N的意义 上式表明 n是N算符的本征值 描写粒子的数目 故N称为粒子数算符 以 n 为基矢的表象称为占有数表象 湮灭算符a的矩阵元 矩阵形式为 产生算符a 的矩阵元 二 占有数表象 一 不同表象之间的变换和么正变换矩阵 二 波函数和算符的变换关系 三 么正变换的性质 6么正变换矩阵 返回 1 么正变换矩阵 力学量A B其本征方程分别为 由于本征基矢的封闭性B基矢可按A的基矢展开 展开系数 一 不同表象之间的变换和么正变换矩阵 写成矩阵形式 2 S矩阵的么正性 1 S S I 2 SS I S S SS S S 1 所以 3 如何求么正变换矩阵 方法I 方法II S矩阵元Sk k 1 2 3 即是基矢 在A表象中的表示 即 反之 如果我们已经知道了某一力学量基矢在另一力学量表象中的表示 那末我们就可以直接把S变换矩阵写出来 为清楚简单起见 假设 A和B的本征矢各只有3个 分别为 1 2 3 和 1 2 3 1 S11 1 S21 2 S31 3 2 S12 1 S22 2 S32 3 3 S13 1 S23 2 S33 3 如果 1 2 3 在A表象中的表示已知 在A表象中 B的本征基矢可表示为 将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵 就是由A表象到B表象的么正变换矩阵 1 波函数变换关系 对任一态矢 u 作用A的单位算符 则 于是 u 在A表象中的表示为 同理 则 u 在B表象中的表示 为了找出b 与an之间的关系 我们对此式插入A表象的单位算符得 b S a S 1a b与a之间的变换关系 二 波函数和算符的变换关系 2 算符F的变换关系 A表象 B表象 F S FS S 1FS 1 么正变换不改变算符的本征值 设F在A表象中的本征方程为 Fa a 在B表象 S 1a F S 1FSb S 1a F b S 1Fa S 1 a b 可见 不同表象中 力学量算符F对应同一状态 a和b描写同一状态 的的本征值不变 基于这一性质 解F的本征值问题就是把该力学量从某一表象变到自身表象 使F矩阵对角化 S 1FSS 1a 三 么正变换的性质 2 么正变换不改变矩阵的迹 矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和 即 F 的迹等于F的迹 也就是说 么正变换不改变矩阵的迹 3 矩阵方程式经么正变换保持不变 矩阵方程式 证 F S 1FSb S 1a F S 1FS S 1 S 1F S 1 F 证毕 例 设在A表象中对易关系 在B表象 对易关系在么正变换下保持不变 4 么正变换不改变厄密矩阵的厄密性 设 A表象 B表象 F S 1FS S 1FS F F S 1FS S F S 1 例一 周4 5 Lx的本征方程为 解 欲得a1 a2 a3不全为零的解 必须要求系数行列式等于零 2 2 0 解得本征值 0 取 代入本征方程得 解得 a1 1 21 2 a2a3 1 21 2 a2 由归一化条件定a2 为简单计取实数 同理得另外两个本征值相应本征函数 则 1 Lx 的本征态可记为 例题二 补充题 作业周世勋 量子力学教程 4 5 物理学院2007级量子力学小论文目录1 在量子力学建立过程中体会科学的发展过程2 浅谈爱因斯坦与玻尔的论战3 简述量子论的产生4 量子力学对于波尔理论困难的解释5 关于量子力学中的表象6 关于波函数的几点讨论7 简述爱因斯坦与玻尔的论战 8 关于不确定关系的几点讨论9 对量子力学中波函数的看法10 论力学量算符11 浅谈力学量算符的对易关系12 浅谈玻尔理论的困难和量子力学怎样来解决这些问题13 论量子力学的基本假设14 如何正确认识几率波15 对微观粒子波 粒二象性的认识16 论经典力学与量子力学的联系