2019版高考数学二轮复习 第1篇 专题3 数列 第1讲 小题考法——等差数列与等比数列学案.doc

第1讲小题考法等差数列与等比数列一、主干知识要记牢1等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前n项和公式Snna1d(1)q1，Sn；(2)q1，Snna12.判断等差数列的常用方法(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an是等差数列(2)通项公式法：anpnq(p，q为常数，nN*)an是等差数列(3)中项公式法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列3判断等比数列的常用方法(1)定义法：q(q是不为0的常数，nN*)an是等比数列(2)通项公式法：ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)an是等比数列(3)中项公式法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列二、二级结论要用好1等差数列的重要规律与推论(1)ana1(n1)dam(nm)d；pqmnapaqaman(2)apq，aqp(pq)apq0；SmnSmSnmnd(3)连续k项的和(如Sk，S2kSk，S3kS2k，)构成的数列是等差数列(4)若等差数列an的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2mm(amam1)，S偶S奇md，(5)若等差数列an的项数为奇数2m1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m1(2m1)am，S奇mam，S偶(m1)am，S奇S偶am，2等比数列的重要规律与推论(1)ana1qn1amqnm；pqmnapaqaman(2)an，bn成等比数列anbn成等比数列(3)连续m项的和(如Sm，S2mSm，S3mS2m，)构成的数列是等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立)(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则q(5)对于等比数列前n项和Sn，有：SmnSmqmSn；(q1)三、易错易混要明了已知数列的前n项和求an，易忽视n1的情形，直接用SnSn1表示事实上，当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1考点一数列的递推公式由an与Sn的关系求通项公式的注意事项(1)应重视分类讨论思想的应用，分n1和n2两种情况讨论，特别注意anSnSn1成立的前提是n2(2)由SnSn1an推得an，当n1时，a1也适合，则需统一表示(“合写”)(3)由SnSn1an推得an，当n1时，a1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an1(2018潍坊二模)设数列an的前n项和为Sn，若Snn2n，则数列的前40项的和为(D)A BC D解析根据Snn2n，可知当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a1S12，上式成立，所以an2n，所以，所以其前n项和Tn，所以其前40项和为T40，故选D2(2018齐齐哈尔二模)已知数列an的前n项和为Sn，且a24，S430，n2时，an1an12(an1)，则an的通项公式an_n2_解析由an1an12(an1)得an1ananan12(n2)又a3a12(a21)10，S4a1a2a3a414a430，a416又a4a22(a31)，a39，a11，a2a13，数列an1an是首项为3，公差为2的等差数列，anan132(n2)2n1(n2)，当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(2n1)(2n3)1n2，又a11满足上式，ann2(nN*)考点二等差、等比数列的基本运算等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量：首项a1和公差d(公比q)(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(或q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量1(2018南充三联)已知等差数列an中，a11，a35，则a1a2a3a4(D)A14 B9 C11 D16解析等差数列an中，a11，a35，所以公差d3.所以a1a2a3a4a1(a1d)(a12d)(a13d)2a16d218162已知等比数列an满足a14，a2a6a4，则a2(A)A2 B1 C D解析因为a2a6a4，所以4q4q54q320.4q30.q3，qa24q4，选A3(2018河南一模)在等差数列an中，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(B)A21 B20 C19 D18解析因为a1a3a5105，a2a4a699，所以a335，a433，从而d2，a139，Sn39nn(n1)(2)n240n.所以当n20时Sn取最大值，选B4(2018湖南联考)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重4斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其总重量为W，则W的值为(C)A4 B12 C15 D18解析由于粗细是均匀变化的， 所以为等差数列，即a14，a52，所以总重量为S5515.故选C考点三等差、等比数列的性质等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解(2)运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题1(2018蚌埠模拟)设等差数列an的前10项和为20，且a51，则an的公差为(B)A1 B2C3 D4解析等差数列an的前10项和为20，所以S105(a1a10)5(a5a6)20.所以a64a53.则an的公差为a6a5312. 故选B2(2018永州三模)记Sn为正项等比数列an的前n项和，若S42S22，则S6S4的最小值为_8_解析在等比数列an中，根据等比数列的性质，可得S2，S4S2，S6S4构成等比数列，所以(S4S2)2S2(S6S4)，所以S6S4，因为S42S22，即S4S2S22，所以S6S4S24248，当且仅当S2时，等号是成立的，所以S6S4的最小值为8考点四等差、等比数列的综合问题等差、等比数列综合问题的求解策略(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便(2)数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题1(2018株洲二检)已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是an的前n项和，则S9等于(C)A8 B6C0 D10解析a1，a3，a4成等比数列，aa1a4，(a122)2a1(a132)，化为2a116.解得a18.则S98920，故选C2(2018武汉一模)已知Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2a54，则a8_2_解析因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q1，又2，整理得到2q61q3，所以q3，故a24，解得a28，故a8823(2018雅安三诊)已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，满足：a1 000a1 0182，b6b2 0122，则tan _解析数列an是等差数列，数列bn是等比数列，a1 000a1 0182a1 0092，即a1 009； b6b2 012b2tan tan tan