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一 平面直角坐标系1平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现数与形的结合(2)坐标法解决几何问题的三步骤： 第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论2平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换用坐标法解决几何问题例1在平行四边形ABCD中，求证：|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2)思路点拨首先在平行四边形ABCD所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A，B，C，D的坐标，再依据两点间的距离公式即可证得结论证明如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系设B(a,0)，C(b，c)，则AC的中点E的坐标为，由对称性知D(ba，c)，所以|AB|2a2，|AD|2(ba)2c2，|AC|2b2c2，|BD|2(b2a)2c2，|AC|2|BD|24a22b22c24ab2(2a2b2c22ab)，|AB|2|AD|22a2b2c22ab，所以|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2)根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则(1)如果图形有对称中心，选对称中心为原点；(2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上1已知在等腰梯形ABCD中，ADBC，求证：|AC|BD|.证明：取BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系设A(a，h)，B(b,0)，则D(a，h)，C(b,0)|AC|，|BD|.|AC|BD|，即等腰梯形ABCD中，|AC|BD|.2在ABC中，D是BC边上的任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2|AD|2|BD|DC|，求证：ABC为等腰三角形证明：作AOBC，垂足为O，以BC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，因为|AB|2|AD|2|BD|DC|，所以由距离公式得b2a2d2a2(db)(cd)，即(db)(bd)(db)(cd)因为db0，所以bdcd，即bc，所以O为线段BC的中点又因为OABC，所以|AB|AC|.所以ABC为等腰三角形用平面直角坐标系解决实际问题例2已知某荒漠上有两个定点A，B，它们相距2 km，现准备在荒漠上围垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少；(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长解(1)设平行四边形的另两个顶点为C，D，由围墙总长为8 km，得|CA|CB|4|AB|2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a4，焦距2c2的椭圆(去除落在直线AB上的两点)以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C的轨迹方程为1(y0)易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ACBD的面积最大，则C，D为此椭圆短轴的端点，此时，面积S222 km2.(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆1(y0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l：y(x1)被椭圆截得的弦长，如图所示由得13x28x320，则x1x2，x1x2，那么弦长L|x1x2|，故暂不加固的部分长为 km.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系建立平面直角坐标系建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴(2)设点选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程(3)运算通过运算，得到所需要的结果3已知B村位于A村的正西方向1 km处，原计划经过B村沿着北偏东60的方向埋设一条地下管线l，但在A村的西北方向400 m处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100 m范围划为禁区试问：埋设地下管线l的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1 000,0)，由W位于A的西北方向及|AW|400，得W(200，200)由直线l过B点且倾斜角为906030，得直线l的方程是xy1 0000.于是点W到直线l的距离为100(5)113.6100.所以埋设地下管线l的计划可以不修改4.如图所示，A，B，C是三个观察站，A在B的正东，两地相距6 km，C在B的北偏西30，两地相距4 km，在某一时刻，A观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s后B，C两个观察站同时发现这种信号，在以过A，B两点的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P的坐标解：设点P的坐标为(x，y)，则A(3,0)，B(3,0)，C(5,2)因为|PB|PC|，所以点P在BC的中垂线上因为kBC，BC的中点D(4，)，所以直线PD的方程为y(x4)又因为|PB|PA|4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为1(x2)联立，解得x8或x(舍去)，所以y5.所以点P的坐标为(8,5) 例3伸缩变换的坐标表达式为曲线C在此变换下变为椭圆x21，求曲线C的方程解设P(x，y)为曲线C上的任意一点把代入x21，得x2y21，故曲线C的方程为x2y21.坐标伸缩变换：注意变换中的系数均为正数在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换利用坐标伸缩变换可以求变换前和变换后的曲线方程已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换.5求4x29y21经过伸缩变换后的图形所对应的方程解：由伸缩变换得将其代入4x29y21，得42921.整理得x2y21.经过伸缩变换后图形所对应的方程为x2y21.6若函数yf(x)的图象在伸缩变换：的作用下得到曲线的方程为y3sin，求函数yf(x)的最小正周期解：由题意，把变换公式代入方程y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期为.一、选择题1将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A椭圆B比原来大的圆C比原来小的圆 D双曲线解析：选D由伸缩变换的意义可得2在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x2y21，则曲线C的方程为()A25x29y20B25x29y21C9x225y20 D9x225y21解析：选B把代入方程x2y21，得25x29y21，曲线C的方程为25x29y21.3圆x2y21经过伸缩变换后所得图形的焦距为()A4 B2C2 D6解析：选C由伸缩变换得代入x2y21，得1，该方程表示椭圆，椭圆的焦距为22.4在同一平面直角坐标系中，将曲线ysin 3x变为曲线ysin x的伸缩变换是()A. B.C. D.解析：选D设伸缩变换公式为则y sin x，即ysin x，伸缩变换公式为二、填空题5ycos x经过伸缩变换后，曲线方程变为_解析：由得代入ycos x，得ycosx，即y3cos.答案：y3cos6将点P(2，2)变换为P(6,1)的伸缩变换公式为_解析：设伸缩变换公式为则解得所以伸缩变换公式为答案：7已知f1(x)cos x，f2(x)cos x(0)，f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的，则为_解析：函数f2(x)cos x，xR(0，1)的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的(纵坐标不变)而得到的，所以，即3.答案：3三、解答题8在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形(1)5x2y0；(2)x2y21.解：由伸缩变换得到(1)将代入5x2y0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x3y0，表示一条直线(2)将代入x2y21，得到经过伸缩变换后的图形的方程是1，表示焦点在x轴上的椭圆9已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|BC|.证明：以RtABC的直角边AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系设B(b,0)，C(0，c)，则M点的坐标为.由于|BC|，|AM| ，故|AM|BC|.10在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换，并叙述变换过程(1)曲线y2sin 变换为曲线ysin 2x；(2)圆x2y21变换为椭圆1.解：(1)将变换后的曲线方程ysin 2x改写为ysin 2x，设伸缩变换为代入ysin 2x得ysin 2x，即y sin 2x，与原曲线方程比较系数得所以所以伸缩变换为即先使曲线y2sin 上的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的，得到曲线y2sin 2sin 2x，再将其纵坐标缩短到原来的，得到曲线ysin 2x.(2)将变换后的椭圆方程1改写为1，设伸缩变换为代入1得1，即2x22y21，与x2y21比较系数得所以所以伸缩变换为即先使圆x2y21上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长为原来的3倍，得到椭圆y21，再将该椭圆的纵坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆1.
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