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第2章 圆锥曲线与方程滚动训练(二)一、填空题1.若双曲线方程为x22y21，则它的左焦点的坐标为_.考点双曲线的标准方程题点求双曲线焦点答案解析双曲线方程可化为x21，a21，b2，c2a2b2，c.2.已知命题p：1x4，命题q：x24x30，则p是綈q的_条件.考点充分条件、必要条件、充要条件的判断题点逻辑联结词和充分条件、必要条件、充要条件的判断答案必要不充分解析由x24x30，解得x3，所以綈q：1x3，则綈qp，但是p綈q，所以p是綈q的必要不充分条件.3.已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为_.考点双曲线的几何性质题点求双曲线方程答案1解析由已知可得双曲线的焦距2c10，a2b25225，又由一条渐近线方程为yxx，得，解得a220，b25.4.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(5,4)，则椭圆的方程为_.考点椭圆的几何性质题点求椭圆方程答案1解析设椭圆的方程为1(ab0)，将点(5,4)代入得1.又离心率e，即e2，解得a245，b236，故椭圆的方程为1.5.下列命题中：“xR，x2x10”的否定；“若x2x60，则x2”的否命题；命题“若x25x60，则x2”的逆否命题.其中真命题的个数是_.考点命题题点命题的否定、否命题、逆否命题答案2解析“xR，x2x10”的否定为“xR，x2x120”为真命题；“若x2x60，则x2”的否命题为“若x2x603x0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_.考点双曲线的几何性质题点求双曲线方程答案1解析椭圆1的焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，离心率e.由于双曲线1与椭圆1有相同的焦点，因此a2b27.又双曲线的离心率e，所以，所以a2，b2c2a23，故双曲线的方程为1.7.设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PAPB，则该双曲线的离心率是_.考点双曲线的几何性质题点求双曲线离心率答案解析联立直线方程x3ym0与双曲线渐近线方程yx可得交点坐标为，而kAB，由PAPB，可得AB的中点与点P连线的斜率为3，即3，化简得4b2a2，所以e.8.已知椭圆方程为1(ab0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若，则椭圆的离心率为_.考点椭圆的几何性质题点求椭圆的离心率答案解析设M(x0，y0)，则N(x0，y0).|k1k2|，可得3a24c2，从而e.9.已知F1，F2为双曲线1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则APAF2的最小值为_.考点双曲线的标准方程题点求双曲线方程中的最值问题答案2解析由题意知，APAF2APAF12a，要求APAF2的最小值，只需求APAF1的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则APAF1PF1，APAF2APAF12a2.10.设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足0，则_.考点圆锥曲线的几何性质题点求圆锥曲线离心率答案2解析设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，F1F22c，由题意得PF1PF22a1，PF1PF22a2，所以PFPF2a2a.又因为0，所以PF1PF2.所以PFPFF1F，即2a2a4c2.所以222，即2，即2.二、解答题11.已知双曲线3x2y23，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解双曲线方程可化为1，故a21，b23，c2a2b24，c2，F2(2,0)，直线l的斜率ktan451，直线l的方程为yx2，代入双曲线方程，得2x24x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2b0)和圆O：x2y2b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.(1)若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；若椭圆上存在点P，使得APB90，求椭圆离心率e的取值范围；(2)设直线AB与x轴，y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论.考点椭圆的几何性质题点椭圆几何性质的综合应用解(1)因为圆O过椭圆的焦点，圆O：x2y2b2，所以bc，所以b2a2c2c2，a22c2，所以e.由APB90及圆的性质，可得OPb，所以OP22b2a2，所以a22c2，所以e2，e1.(2)的值为定值，证明如下：设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，整理得x0x1y0y1xy.因为xyb2，所以x0x1y0y1b2，同理x0x2y0y2b2.从而直线AB的方程为x0xy0yb2.令x0，得ON|y|，令y0，得OM|x|，所以，所以为定值，定值是.三、探究与拓展14.已知椭圆1(abc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值为(ac)，则椭圆的离心率e的取值范围为_.考点椭圆的几何性质题点求椭圆的离心率范围答案解析因为PT(bc)，而PF2的最小值为ac，所以PT的最小值为.依题意有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21，联立，得e.15.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2).设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆几何性质的综合应用(1)解由题意知b.因为离心率e，所以，所以a2，所以椭圆C的方程为1.(2)证明由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线PM的方程为yx1，直线QN的方程为yx2.方法一联立解得x，y，即T.由1，可得x84y.因为221，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.方法二设T(x，y).联立解得x0，y0.因为1，所以221.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.
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