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同步精选测试等比数列前n项和的性质及应用(建议用时：45分钟)基础测试一、选择题1.已知an(1)n，数列an的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是() 【导学号：18082103】A.1,1 B.1，1 C.1,0 D.1,0【解析】法一：S91111111111.S10S9a10110.法二：数列an是以1为首项，1为公比的等比数列，所以S91，S100.【答案】D2.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A.31B.33C.35D.37【解析】根据等比数列性质得q5，25，S1033.【答案】B3.如果数列an满足a1，a2a1，a3a2，anan1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an()A.2n1B.2n11C.2n1D.4n1【解析】ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2n1.【答案】A4.在等比数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8() 【导学号：18082104】A.135 B.100 C.95 D.80【解析】法一：由等比数列的性质知a1a2，a3a4，a5a6，a7a8成等比数列，其首项为40，公比为.a7a840135.法二：由得q2，所以a7a8q4(a3a4)60135.【答案】A5.设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a41，S37，则S5等于()A. B. C. D.【解析】设an的公比为q，由题意知q0，a2a4a1，即a31，S3a1a2a317，即6q2q10，解得q，所以a14，所以S58.【答案】B二、填空题6.等比数列an共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q_.【解析】设an的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n，S奇.由题意得.1q3，q2.【答案】27.数列11,103,1 005,10 007，的前n项和Sn_.【解析】数列的通项公式an10n(2n1).所以Sn(101)(1023)(10n2n1)(1010210n)13(2n1)(10n1)n2.【答案】(10n1)n28.如果lg xlg x2lg x10110，那么lg xlg2xlg10x_. 【导学号：18082105】【解析】由已知(1210)lg x110，55lg x110.lg x2.lg xlg2xlg10x22221021122 046.【答案】2046三、解答题9.设数列an的前n项和为Sn，a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)求a1a3a2n1.【解】(1)S1a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列，Sn2n1.又当n2时，anSnSn12n12n22n2.当n1时a11，不适合上式，an(2)a3，a5，a2n1是以2为首项，以4为公比的等比数列，a3a5a2n1，a1a3a2n11.10.已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和.【解】(1)设等比数列bn的公比为q，则q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(n1,2,3，).设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，).(2)由(1)知an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.能力提升1.设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S512，则S15S5()A.34 B.23 C.12 D.13【解析】在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为S10S512，所以S52S10，S15S5，得S15S534，故选A.【答案】A2.设数列an的前n项和为Sn，称Tn为数列a1，a2，a3，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 014，则数列2，a1，a2，a5的“理想数”为()A.1 673B.1 675C.D.【解析】因为数列a1，a2，a5的“理想数”为2 014，所以2 014，即S1S2S3S4S552 014，所以数列2，a1，a2，a5的“理想数”为.【答案】D3.已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，则an_.【导学号：18082106】【解析】设等比数列an的公比为q，由S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.【答案】(1)n14.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn1(nN)，等差数列bn中，bn0(nN)，且b1b2b315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.【解】(1)a11，an12Sn1(nN)，an2Sn11(nN，n1)，an1an2(SnSn1)，即an1an2an，an13an(nN，n1).而a22a113，a23a1.数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，an3n1(nN).a11，a23，a39，在等差数列bn中，b1b2b315，b25.又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，设等差数列bn的公差为d，则有(a1b1)(a3b3)(a2b2)2.(15d)(95d)64，解得d10或d2，bn0(nN)，舍去d10，取d2，b13，bn2n1(nN).(2)由(1)知Tn3153732(2n1)3n2(2n1)3n1，3Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，得2Tn312323223323n1(2n1)3n32(332333n1)(2n1)3n32(2n1)3n3n(2n1)3n2n3n，Tnn3n.
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