2019届高考数学二轮复习 解答题双规范案例之——数列问题.doc

数列问题感悟体验快易通1.已知在正项等比数列an中,a1与a3分别是方程x2-5x+4=0的两根.(1)求数列an的通项公式.(2)若数列bn是递增数列,其前n项和为Sn,且bn=log2an+1,求数列1Sn的前n项和Tn.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,依题意得a1=1,a3=4,或a1=4,a3=1.若a1=1,a3=4,因为an0,则q=2,所以an=12n-1=2n-1;若a1=4,a3=1,因为an0,则q=12,所以an=412n-1=23-n.(2)因为数列bn是递增数列,bn=log2an+1,所以由(1)知an=2n-1,bn=log2an+1=log22n-1=n-1+1=n,所以bn是以1为首项,1为公差的等差数列,所以Sn=n(b1+bn)2=n(1+n)2.所以1Sn=2n(n+1)=21n-1n+1,所以Tn=211-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.2.已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+1-2Sn=1(nN*).(1)求数列an的通项公式.(2)若数列bn满足bn=n+nan,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)由Sn+1-2Sn=1(nN*)得Sn-2Sn-1=1(n2,nN*),两式相减得an+1=2an(n2,nN*).又S2-2S1=1,a1=1,所以a1+a2-2a1=1,得a2=2,则a2=2a1,所以数列an是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.(2)由(1)知bn=n+n2n-1,所以Tn=1+2+n+1+22+322+n2n-1=n(n+1)2+1+22+322+n2n-1,令An=1+22+322+n2n-1,则12An=12+222+323+n-12n-1+n2n,-得12An=1+12+122+12n-1-n2n=21-12n-n2n=2-n+22n,所以An=4-n+22n-1.所以Tn=n(n+1)2+4-n+22n-1.