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专题跟踪训练(二十六) 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为(1,0)，(1,0)，则满足tanPABtanPBAm(m为非零常数)的点P的轨迹方程是()Ax21(y0) Bx21Cx21(y0) Dx21解析设P(x，y)，由题意，得m(m0)，化简可得x21(y0)答案C2(2018重庆模拟)设A，P是椭圆y21上两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP，BP分别交x轴于点M，N，则()A0 B1 C. D2解析依题意，将点P特殊化为点(，0)，于是点M，N均与点(，0)重合，于是有2，故选D.答案D3已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式作差并化简变形得，而，x1x22，y1y22，所以a22b2，又a2b2c29，于是a218，b29.故选D.答案D4(2018唐山市高三五校联考)直线l与双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为()A2 B. C3 D.解析设直线l与双曲线C：1(a0，b0)的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1x2，则1(a0，b0)，1(a0，b0)，得，即，因为l与OM的斜率的乘积等于1，所以1，双曲线的离心率e ，故选B.答案B5(2018郑州市第三次质量预测)椭圆1的左焦点为F，直线xa与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()A. B. C. D.解析设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知FMN的周长为L|MN|MF|NF|MN|(2|ME|)(2|NE|)因为|ME|NE|MN|，所以|MN|ME|NE|0，当直线MN过点E时取等号，所以L4|MN|ME|NE|4，即直线xa过椭圆的右焦点E时，FMN的周长最大，此时SFMN|MN|EF|2，故选C.答案C6(2018福建省高三质检)过抛物线y24x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|2|AF|，则|BF|等于()A2 B3 C4 D5解析设抛物线的准线与x轴交于点D，则由题意，知F(1,0)，D(1,0)，分别作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，则有，所以|AA1|，故|AF|.又，即，亦即，解得|BF|4，故选C.答案C二、填空题7椭圆C：1的左、右顶点分别为M，N，点P在C上，且直线PN的斜率是，则直线PM的斜率为_解析设P(x0，y0)，则1，直线PM的斜率kPM，直线PN的斜率kPN，可得kPMkPN，故kPM3.答案38(2018郑州一模)如图，F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A.若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为_解析ABF2为等边三角形，|AB|AF2|BF2|，F1AF260.由双曲线的定义可得|AF1|AF2|2a，|BF1|2a.又|BF2|BF1|2a，|BF2|4a.|AF2|4a，|AF1|6a.在AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF2|AF1|cos60，(2c)2(4a)2(6a)224a6a，整理得c27a2，e.答案9(2018湖南六校联考)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点P(1,0)作直线l与抛物线C交于A、B两点若SABF，且|AF|BF|，则_.解析设直线l的方程为xmy1，将直线方程代入抛物线C：y24x的方程得y24my40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则00，则k0或kb0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程(2)设直线1与y轴交于P点，过点P的直线l与椭圆E交于两个不同点A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围解(1)由题意，得a2c，bc，则椭圆E的方程为1，联立得x22x43c20.直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，44(43c2)0，得c21，椭圆E的方程为1.(2)由(1)得M点坐标为.直线1与y轴交于点P(0,2)，|PM|2.当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2)(2)1，由|PM|2|PA|PB|，得.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(34k2)x216kx40，依题意得，x1x2，且48(4k21)0，|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1，.k2，0)，圆O：x2y21.(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值解(1)由题意得F(0,1)，从而抛物线C：x24y.解方程组得yA2，|AF|1.(2)设M(x0，y0)，由y，得切线l：y(xx0)y0，结合x2py0，整理得x0xpypy00.由|ON|1得1，即|py0|，p且y10.|MN|2|OM|21xy12py0y1y14(y1)8，当且仅当y0时等号成立|MN|的最小值为2，此时p.
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