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第2讲数系的扩充与复数的引入考纲解读1.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件(重点)2.了解复数的代数表示法及几何意义，能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示3.能进行复数形式的四则运算，并了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲在高考中属于必考内容. 预测2020年将会考查：复数的基本概念与四则运算；复数模的计算；复数的几何意义. 题型为客观题，难度一般不大，属于基础题型.1复数的有关概念2复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.3复数代数形式的四则运算(1)运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)(3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.(4)复数加、减法的几何意义复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1z2是所对应的复数复数减法的几何意义：复数z1z2是即所对应的复数4模的运算性质：|z|2|2z；|z1z2|z1|z2|；.1概念辨析(1)关于x的方程ax2bxc0(a，b，cR且a0)一定有两个根()(2)若复数abi中a0，则此复数必是纯虚数()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)(2017全国卷)()A12i B12i C2i D2i答案D解析2i.故选D.(2)(2018北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案D解析设复数zi，所以z的共轭复数i，对应的点为，位于第四象限(3)(2018华南师大附中一模)在复平面内，复数zcos3isin3(i为虚数单位)，则|z|为()A4 B3 C2 D1答案D解析|z|1.(4)设复数z12i，z2a2i(i为虚数单位，aR)，若z1z2R，则a_.答案4解析因为z1z2(2i)(a2i)2a2(4a)i，且z1z2是实数，所以4a0即a4.题型 复数的有关概念1设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m()A1 B1 C2 D2答案C解析因为m2m2(m21)i是纯虚数，所以解得m2.2若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A3，2 B3,2 C3，3 D1,4答案A解析因为(1i)(23i)32iabi，所以a3，b2.3(2018合肥一检)设i为虚数单位，复数z的虚部是()A. B C1 D1答案B解析复数zi，则z的虚部为.4(2018全国卷)设z2i，则|z|()A0 B. C1 D.答案C解析因为z2i2i2ii，所以|z|1，故选C.有关处理复数基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为abi(a，bR)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.1(2019安徽安庆模拟)设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，那么实数a的值为()A. B C3 D3答案C解析，由题意知2a1a2，解得a3.故选C.2已知集合AN，BxR|z3xi，且|z|5(i为虚数单位)，则AB_.答案4解析因为|z|5，所以x4，所以B4,4，所以AB43(2017浙江高考)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_.答案52解析因为(abi)2a2b22abi.由(abi)234i，得解得a24，b21.所以a2b25，ab2.题型 复数的几何意义1(2019福州质检)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，则()A1i B.iC1i D1i答案B解析因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，所以z22i，所以i，故选B.2若复数z在复平面内对应的点在直线yx上，则z()A1 B2 C1 D2答案B解析因为zi，且z在复平面内对应的点在直线yx上，所以1，a2，所以z(1i)(1i)1i22.3若复数z满足|z|1；|zi|12i|，则z在复平面内所对应的图形的面积为_答案4解析设zxyi(x，yR)，由|z|1及|zi|12i|易得x2y21及x2(y1)25知z在复平面内对应图形的面积为54.条件探究1把举例说明1中的“实轴”改为“虚轴”，求z1z2.解因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z12i，所以z22i.所以z1z2(2i)(2i)i2225.条件探究2将举例说明1中z1对应的向量绕点O逆时针旋转90，得z2对应的向量，试求.解如图所示，z12i，z212i，所以i.复数几何意义及应用1复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).2由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观提醒：|z|的几何意义：令zxyi(x，yR)，则|z|，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离.1在复平面内，若O(0,0)，A(2，1)，B(0,3)，则在OACB中，点C所对应的复数为()A22i B22i C1i D1i答案A解析在OACB中，(2，1)(0,3)(2,2)，所以点C所对应的复数为22i.2如图所示的网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z对应的复数z满足(z1i)z1，则复数z1()AiB.iC.iDi答案B解析由图可知z2i，因为(z1i)z1，所以z1iiii.题型 复数的四则运算角度1复数的加、减、乘、除运算1(1)(2018天津高考)i是虚数单位，复数_；(2)已知i是虚数单位，82018_.答案(1)4i(2)1i解析(1)4i.(2)原式81009i81009i8i10091i425211i.角度2复数四则运算的综合应用2若复数(1i)(cosisin)在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是_答案，kZ解析(1i)(cosisin)(cossin)(sincos)i，此复数在复平面内对应的点为(cossin，sincos)由题意得角终边所在的区域如图所示所以2k2k，kZ.1复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可(2)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(3)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式2记住以下结论，可提高运算速度(1)(1i)22i；(2)i；(3)i；(4)bai；(5)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN).1(2018太原二模)()A2 B2 C. D答案A解析2.2若复数z满足(12i)z1i，则|()A. B. C. D.答案C解析z，|z|.3复数zcos75isin75(i是虚数单位)，则在复平面内，z2对应的点位于第_象限答案二解析z2(cos75isin75)2(cos275sin275)(2sin75cos75)icos150isin150i，其对应的点位于第二象限
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